Mathematik I Prof. Dr. Andreas Schröder Naturwissenschaftliche

Mathematik I
Prof. Dr. Andreas Schröder
Naturwissenschaftliche Fakultät
Paris Lodron Universität Salzburg
10.10.2012
Aufgabenblatt 2
Aufgabe 1 Es sei f, g : R → R mit f (x) = 2x2 + 8x + 4 und g(x) = (1 + x2 )−1 .
1. Bestimmen Sie inf f (R), sup f (R), inf g(R) und sup g(R). Für welche Ausdrücke kann inf bzw. sup
durch min bzw. max ersetzt werden?
2. Bestimmen Sie Mengen A, C ⊂ R, so dass die Restriktionen f|A und g|C injektiv sind und keine echten
Obermengen von C und D mit dieser Eigenschaft existieren.
3. Bestimmen Sie Mengen B, D ⊂ R, so dass die Abbildungen f˜ : A → B und g̃ : C → D mit f˜(x) :=
f (x), x ∈ A, und g̃(x) := g(x), x ∈ C, bijektiv sind.
4. Bestimme Sie die Umkehrabbildungen von f˜ und g̃.
Aufgabe 2 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
1.
2.
3.
4.
a2
(a−1)m+1
p
4+
5+7i
2+i
1
a+bi
−
√
2a
(a−1)m
+
16 − a2 +
1+2i
3+4i
2 1
(a−1)m−1
p
4−
√
16 − a2
2
−2
i
a+i
Aufgabe 3 Bestimmen Sie das Infimum und Supremum sowie ggf. Minimum und Maximum der folgenden
Mengen:
√
1. {x ∈ R | x + 2 ≤ x}
n
2. { n+1
| n ∈ N}
3. {(−1)n · (1 + n1 ) | n ∈ N}
4. {a + b | a ∈ A, b ∈ B} für die beschränkten Mengen A, B ⊂ R
Aufgabe 4
1. Zeigen Sie, dass die auf C definierten Operationen + und · das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz
und das Distributivgesetz erfüllen.
2. Geben Sie für die komplexe Zahl a + bi ∈ C die neutralen und inversen Elemente an.
3. Lösen Sie die Gleichung x2 + 2x + 2 = 0 in der Menge der komplexen Zahlen.
4. Warum kann es auf C keine Ordnungsrelation geben?
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