¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung “Mathematik für Physiker I” WS

Übungsaufgaben zur Vorlesung
“Mathematik für Physiker I”
WS 2017/18
Blatt I
Abgabetermin: Montag, den 23. Oktober 2017, in der Vorlesung
Aufgabe 1. Für jedes n ≥ 1 beweise man die Summenformeln:
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
3
3
3
2
b) 1 + 2 + . . . + n = (1 + 2 + . . . + n) .
a) 12 + 22 + . . . + n2 =
Aufgabe 2. Man zeige:
a) Für alle a, b ∈ R gilt die “Binomische Formel”
n X
n
n
ak bn−k ,
(a + b) =
k
k=0
n
n
wobei
=
.
k
k!(n − k)!
b) Sind x1 , x2 , . . . , xn > −1 beliebige reelle Zahlen derselben Vorzeichen,
so gilt die “Bernoullische Ungleichung”
(1 + x1 )(1 + x2 ) . . . (1 + xn ) ≥ 1 + x1 + x2 + . . . + xn .
Aufgabe 3. Sei q 6= 1. Man beweise die Summenformel für die endliche geometrische Reihe
n
X
1 − q n+1
qk =
.
1
−
q
k=0
Aufgabe 4. Sei n eine feste natürliche Zahl. Auf der Menge Z aller ganzen
Zahlen definiert man die folgende binäre Relation: x ∼ y falls x − y durch
n teilbar ist. (Man sagt, daß x und y kongruent modulo n sind.) Zeigen Sie,
daß ∼ eine Äquivalenzrelation ist, und beschreiben Sie die entsprechenden
Äquivalenzklassen.
Aufgabe 5. Seien A und B Teilmengen von R. Wir definieren A + B als die
Menge aller reellen Zahlen der Gestalt a + b mit a ∈ A and b ∈ B. Beweisen
Sie:
inf(A + B) = inf A + inf B,
sup(A + B) = sup A + sup B.
1
2
Aufgabe 6. Man zeige, daß die Menge aller echten rationalen Brüche der
Gestalt
p
q
mit p, q ∈ N und p < q kein maximales Element und kein minimales Element
hat. Man bestimme das Supremum und das Infimum dieser Menge.
√
Aufgabe 7. Man definiere die reelle Zahl 2 2 .
Aufgabe 8. Man beweise die folgenden Eigenschaften des Absolutbetrags:
a) Für alle x, y ∈ R gilt |x + y| ≤ |x| + |y| (“Dreiecksungleichung”).
b) Für alle x, y ∈ R gilt |x − y| ≥ ||x| − |y||.
Aufgabe 9. Man beweise die Ungleichung
√
1
1
1 + √ + ... + √ > n
n
2
für jedes n ≥ 2.
Viel Spaß und viel Erfolg!
Aufgabe
Punkte
1
2
3 4 5 6 7
8
9
a b a b
a b
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 48