Aufgaben Klasse 12, 14. Blatt Aufgabe 14.1 Es seien a, b und c reelle Zahlen. Es sei bekannt, daß die Gleichung √ √ √ √ √ √ a + bx + b + cx + c + ax = a − bx + b − cx + c − ax wenigstens eine reelle Lösung x hat. Finde alle Lösungen der Gleichung! Aufgabe 14.2 Beweise, daß es in jeder arithmetischen Folge (erster Ordnung) natürlicher Zahlen zwei Glieder mit gleicher Quersumme gibt. Aufgabe 14.3 Beweise die Youngsche Ungleichung: Es sei y = ϕ(x) mit ϕ(0) = 0 für x > 0 monoton wachsend und x = ϕ−1 (y) die zu ϕ inverse Funktion. Weiter seien F (x) = Zx ϕ(x0 )dx0 , F ∗ (y) = Zy ϕ−1 (y 0)dy 0 0 0 zwei für x, y > 0 definierte Funktionen. Beweise, daß für alle a, b > 0 die Ungleichung a · b ≤ F (a) + F ∗ (b) gilt. Wann gilt Gleichheit? Hinweis: Stelle Dir das Problem geometrisch vor. Aufgabe 14.4 ∞ Es seien Folgen a = (an )∞ n=1 und q = (qn )n=1 mit qi > 0 gegeben. Es sei Qn = q1 + ... + qn und n 1 X qi ai , Gn (a, q) = An (a, q) = Qn i=1 n Y i=1 ! Q1 n aqi i die gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel. Beweise An − Gn ≥ Qn−1 (An−1 − Gn−1 ) . Qn Hinweis: Benutze die Bernoullische Ungleichung. Dr. Holger Stephan e-mail: [email protected] URL: http://www.wias-berlin.de/people/stephan/msg.htm