Universität Basel Prof. Dr. Enno Lenzmann Analysis I/HS 2015

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Analysis I/HS 2015
24.09.2015
Aufgabenblatt Nr. 2 (korrigierte Version)
Abgabe: Am Freitag, den 02.10.2015 bis 13:00 Uhr in der Spiegelgasse 1 in
das jeweilige Assistentenfach im Eingangsbereich im Erdgeschoss.
Hinweise: Die Aufgaben mit * sind für das Ergänzungsprogramm bestimmt. Sie
können die Aufgaben selbstversändlich gemeinsam bearbeiten, jedoch müssen Sie
Ihre Lösungen separat einreichen. Offensichtliches Kopieren ist nicht zulässig.
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Aufgabe 2.1. (8 Punkte). Zur Erinnerung: Für eine beliebige Menge X heisst die
Abbildung idX : X Ñ X, x ÞÑ x die Identität auf X.
Es seien X und Y nichtleere Mengen, sowie f : X Ñ Y und g : Y Ñ X zwei
Abbildungen mit g ˝ f “ idX . Zeige: f ist injektiv und g ist surjektiv.
Aufgabe 2.2. (8 Punkte). Im Folgenden seien a, b, c, d, x, y P R. Aus den Körperund Anordnungsaxiomen von R beweise man folgende (Un-)Gleichungen für reelle
Zahlen. Gib genau an, welche Axiome jeweils verwendet werden.
i) ´px ` yq “ ´x ´ y.
ii) p´xq ¨ p´yq “ x ¨ y.
iii) ab : dc “ a¨d
b¨c für b ‰ 0, c ‰ 0 und d ‰ 0.
a
c
iv) b ` d “ a¨d`b¨c
für b ‰ 0 und d ‰ 0.
b¨d
v) pa ă b ^ c ă dq ñ a ` c ă b ` d.
vi) x ă y ñ ´x ą ´y.
vii) x2 ą 0 für x ‰ 0. (Insbesondere ist 1 ą 0.)
viii) 0 ă x ă y ñ 0 ă y ´1 ă x´1 .
Aufgabe 2.3. (8 Punkte). Im Folgenden seien x, y, a, b, c, d und ε reelle Zahlen.
Beweise folgende Ungleichungen:
y2
1
paq 2xy ď ε2 x2 ` 2 pε ‰ 0q, pbq x ` ě 2 px ą 0q,
ε
x
ˆ
˙4
a`b`c`d
pcq
ě abcd pa, b, c, d ě 0q.
4
2
Hinweis zu (c): Zeige zunächst p x`y
2 q ě xy für x, y ě 0 und leite daraus (c) her.
Aufgabe 2.4. (8 Punkte). Es seien X, Y zwei Mengen und f : X Ñ Y eine
Abbildung. Für eine Teilmenge U Ă X definieren wir das Bild von U unter f als
die Menge
f pU q :“ ty P Y : Dx P U mit y “ f pxqu.
Für eine Teilmenge V Ă Y definieren wir das Urbild von V unter f als die Menge1
f ´1 pV q :“ tx P X : f pxq P V u.
Beweise die folgenden Inklusionen bzw. Gleichheiten:
paq f pU1 X U2 q Ă f pU1 q X f pU2 q,
pcq f
´1
pV1 X V2 q “ f
´1
pV1 q X f
´1
pV2 q,
pbq f pXqzf pU q Ă f pXzU q,
pdq f ´1 pY zV q “ f ´1 pY qzf ´1 pV q,
1Beachte: Das Urbild f ´1 pV q einer Menge V Ă Y ist immer definiert, egal ob f : X Ñ Y
bijektiv ist oder nicht. Falls f bijektiv ist mit der Umkehrabbildung f ´1 : Y Ñ X, dann ist das
Urbild f ´1 pV q gleich dem Bild von V unter der Umkehrabbildung f ´1 .
1
2
wobei U, U1 , U2 Ă X und V, V1 , V2 Ă Y beliebige Teilmengen sind.
*Aufgabe 2.5. (8 Punkte). Sei n P N mit n ě 1. Zeige, dass für alle reellen
positiven Zahlen a1 , . . . , an ą 0 die folgenden Ungleichungen gelten:
˜
¸n
ˆ
˙n
n
a1 ` . . . ` an
(1)
ě a1 ¨ . . . ¨ an ě
.
1
1
n
a1 ` . . . ` an
Um die erste Ungleichung in (1) zu zeigen, führe den Beweis durch Induktion über n
und benutze dabei die Bernoullische Ungleichung p1 ` xqn ě 1 ` nx für alle x ě ´1
und n P N (die Bernoullische Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden).
Die zweite Ungleichung in (1) folgt leicht aus der ersten. Wieso?
*Aufgabe 2.6. (8 Punkte). Beweise folgende Aussagen:
?
?
(a) Seien a, b?P Q zwei positive rationale Zahlen. Ist a ` b rational, so sind
?
a und b rationale
Zahlen.
?
(b) Ist n P N, so ist n entweder natürlich oder irrational, d. h.
?
?
nPN ñ
nPN _
n P RzQ.
Hinweis zu (b): Es genügt zu zeigen, dass es keine “echten” rationalen Zahlen q P
QzN mit q 2 P N gibt. Hierbei darf (ohne Beweis) die eindeutige Primfaktorzerlegung
in N benutzt werden: Jede natürliche Zahl m P N mit m ě 2 kann als Produkt
m “ p1 ¨ . . . ¨ pr
von geeigneten Primzahlen p1 , . . . , pr geschrieben werden, wobei p1 , . . . , pr bis auf
die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind. [In der Vorlesung hatten wir diesen Satz
bis auf die Eindeutigkeitsaussage bewiesen.]