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II. Arithmetik
4. Die natürlichen Zahlen
1M
n  M  (n + 1)  M
1M
(4.1)
n  M  (n + 1)  M
(4.2)
Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt   M
(4.3)
4.1 Das Prinzip der vollständigen Induktion
1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n  1)
2
1(1  1)
2
1=
=
2
2
n(n  1)
1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) =
+ (n + 1)
2
n
= (n + 1)( 2 + 1)
(n  1)(n  2)
=
2
m(m  1)
1 + 2 + 3 + ... + (m - 1) + m =
2
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
1
+
2 + 3 + ... + 100
100 + 99 + 98 + ... +
= 5050
1
101 + 101 + 101 + ...+ 101
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
= 10100
4.2b Man beweise die Bernoullische Ungleichung:
(1 + x)n  1 + nx für x  0 und n  
durch vollständige Induktion.
4.3 Man beweise die folgenden Formeln
für alle n   mit vollständiger
Induktion:
n
2
k

=
k 1
n
k
3
=
k 1
n
q
k 1
k -1
=
n (n  1)(2n  1)
6
 n(n  1) 
 2 
1- q n
1- q
2
; q1
Jakob Bernoulli
1654 -1705
Er zeigte die
Divergenz der
harmonischen
Reihe und
fand 1684 die
Bernoullische
Ungleichung.
1 + q + q2 + q3 + ... + qn
Geometrische Reihe:
(1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)q
=1
-
qn+1
n1
1

q
1 + q + q2 + ... + qn =
1 q
Schach: 264 - 1 = 2*1019 Reiskörner
Erdoberfläche: 5*1018 cm2
1+q+
q2
1
+ ... =
1 q
für IqI < 1
unendlich viele Zahlen, endliche Summe:

1 n 1 1 1 1 1
 ( )       ...
1 2 4 8 16
n0 2
4.2 Der binomische Satz
Die binomische Formel: (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)2 =
Binomialkoeffizienten
(a + b)n =
(a +
b)n
=
n n 0
  a b
0
=
= 1,
+  n1  an-1b1 +
 
 2
 
 1
+
 2 1 1
  a b
 1
= 2 und
 n  n-2 2
  a
b
2
 
 2
  =
 2
+ ... +
+
 2 0 2
  a b
 2
1
n 0 n
  a b
n
n
 n  n-k k
  k  a b
k 0
n
n!
  =
 k  (n  k )!  k!
n
 
k 
 2
 
0
 2 2 0
  a b
0
n! = 123n
0! = 1
n(n  1)(n  2)    (n  k  1)
1 2  3    (k  1)k
 n 
n
 = n
  = 
 n - 1
 1
n n
  =   = 1
0 n
4.2 Der binomische Satz
n
 
 1
=
n
 
2
= n(n  1)
1 2
n
 
3
=
n
1
n
  = n(n  1)(n  2)    (n  n  1)
1 2  3    (n  1)n
n
n(n  1)(n  2)
1 2  3
usw.
n
 
k 
n(n  1)(n  2)    3  2  1
=
1 2  3    (n  2)(n  1)n
 n 
n
 = n
  = 
 n - 1
 1
=
n(n  1)(n  2)    (n  k  1)
1 2  3    (k  1)k
n n
  =   = 1
0 n
 n  1


 k 
=
 n 


 k - 1
+
n
 
k 
 n  1


 k 
 n 


 k - 1
=
+
 n 


 k - 1
n
 
k 
+
n
 
k 
=
n!
(n  (k - 1))!  (k - 1)!
+
=
n!  k
(n  (k - 1))!  k!
n!
(n  k )!  k!
=
n!  k
( n  1  k )!  k!
=
n!(n  1)
(n  1  k )!  k!
=
(n  1)!
(n  1  k )!  k!
+
+
n!
(n  k )!  k!
n!(n  1  k )
(n  1  k )!  k!
 n  1


 k 
 n 


 k - 1
=
+
 n 


 k - 1
n
 
k 
+
n
 
k 
=
n!
(n  (k - 1))!  (k - 1)!
+
=
n!  k
(n  (k - 1))!  k!
n!
(n  k )!  k!
=
n!  k
( n  1  k )!  k!
=
n!(n  1)
(n  1  k )!  k!
=
(n  1)!
(n  1  k )!  k!
+
+
n!
(n  k )!  k!
n!(n  1  k )
(n  1  k )!  k!
 n  1


 k 
 n 


 k - 1
=
+
 n 


 k - 1
n
 
k 
+
n
 
k 
=
n!
(n  (k - 1))!  (k - 1)!
+
=
n!  k
(n  (k - 1))!  k!
n!
(n  k )!  k!
=
n!  k
( n  1  k )!  k!
=
n!(n  1)
(n  1  k )!  k!
=
(n  1)!
(n  1  k )!  k!
+
+
n!
(n  k )!  k!
n!(n  1  k )
(n  1  k )!  k!
 n  1


 k 
 n 


 k - 1
=
+
 n 


 k - 1
n
 
k 
+
n
 
k 
=
n!
(n  (k - 1))!  (k - 1)!
+
=
n!  k
(n  (k - 1))!  k!
n!
(n  k )!  k!
=
n!  k
( n  1  k )!  k!
=
n!(n  1)
(n  1  k )!  k!
=
(n  1)!
(n  1  k )!  k!
+
+
n!
(n  k )!  k!
n!(n  1  k )
(n  1  k )!  k!
 n  1


 k 
 n 


 k - 1
=
+
 n 


 k - 1
n
 
k 
 n  1


 k 
+
n
 
k 
=
n!
(n  (k - 1))!  (k - 1)!
+
=
n!  k
(n  (k - 1))!  k!
n!
(n  k )!  k!
=
n!  k
( n  1  k )!  k!
=
n!(n  1)
(n  1  k )!  k!
=
(n  1)!
(n  1  k )!  k!
+
+
n!
(n  k )!  k!
n!(n  1  k )
(n  1  k )!  k!
 n  1


 k 
=
 n 


 k - 1
+
n
 
k 
Pascalsches Zahlendreieck
n=0
1
n=1
1
n=2
1
n=3
1
n=4
n=5
n
n
  k 
k 0
1
1
= 2n
5
1
2
3
4
1
3
6
10
Blaise Pascal
(1623 - 1662)
1
4
10
1
5
1
denn (a + b)n liefert genau 2n Produkte.
4.1 Man berechne die Binomialkoeffizienten
3
 
2
7
 
5
 10 
 
8
 49 
 
6
4.2a Man beweise die Bernoullische Ungleichung:
(1 + x)n  1 + nx für x  0 und n  
mit Hilfe des binomischen Satzes.
4.3 Primzahlen
Eine natürliche Zahl, die sich ohne Rest nur durch 1 und durch
sich selbst teilen lässt, heißt Primzahl. Ausnahme:1
Sieb des Eratosthenes
Primzahlsatz des Euklid: Es gibt mehr Primzahlen
als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.
Sei P = { p1, p2, p3, ... , pn }
Eratosthenes
(276 - 194)
P = p1  p2  p3    pn
(P ± 1) wird durch keine dieser Primzahlen geteilt.
Also ist es selbst PZ oder enthält eine PZ pn+1.
2  3  5  7  11  13 + 1 = 30031 = 59  509
2  3  5  7  11  13 - 1 = 30029
Euklid
(325 - 275)
Satz (Fundamentalsatz der Zahlentheorie) Jede
natürliche Zahl besitzt eine bis auf die Reihenfolge
eindeutige Primfaktorzerlegung.
Beweis (nach Zermelo). Die kleinen zusammengesetzten natürlichen Zahlen wie 4 = 22 und 6 =
32 besitzen eindeutige Zerlegungen.
Sei
pP = qQ
Ernst Zermelo
(1871 - 1953)
mit den Primfaktoren p und q die kleinste Zahl, die mehr als eine
Zerlegung besitzt. Gleiche Faktoren sind in pP und qQ nicht
vorhanden, sonst könnte gekürzt und eine kleinere mehrdeutige
Zerlegung erzeugt werden. OBdA sei p > q, und also Q > P.
Wir bilden (p - q)P = pP - qP = qQ - qP = q(Q - P) <
qQ.
(p - q) enthält nicht den Faktor q, da p und q Primzahlen sind und
(p - q) = nq sofort auf p = (n + 1)q führen würde. Also gibt es
eine kleinere als die als kleinste angenommene mehrdeutige
Ist n eine Primzahl, so sind alle inneren Binomialkoeffizienten Vielfache von n, denn im Zähler von
n(n  1)(n  2)    (n  k  1)
1 2  3    k
kann die Primzahl n nicht weggekürzt werden, bevor
sie selbst im Nenner auftritt. Daraus ergibt sich eine
spezielle Version des kleinen Fermatsche Satzes: Pierre de Fermat
(1601 - 1665)
Satz (Fermat) Ist p eine ungerade Primzahl, so ist 2p-1 - 1 =
kp ein ganzzahliges Vielfaches von p.
Beweis. 2p = (1 + 1)p = 1 +
 p
 
 1
+
 p
 
2
+ ... +
 p 


 p - 1
+1
Alle Binomialkoeffizienten einer ungeraden Zahl sind doppelt
vorhanden, jeder innere ist durch p teilbar, d. h.
2p = 2kp + 2 und 2p-1 = kp + 1.
23-1 = 4 = 13 + 1 25-1 = 16 = 35 + 1
27-1 = 64 = 97 + 1
4.4 Man beweise, dass 3 keine rationale Zahl ist.
4.5 Man beweise: Wenn u/v (gekürzt) keine ganze Zahl
ist, so ist auch un/v mit n   keine ganze Zahl.
Ist 210 - 1 durch 11 teilbar?