Analysis I - Universität Stuttgart

Universität Stuttgart, Fakultät 8
Prof. M. Griesemer
Sabine Poehler
Aufgabe 1
Analysis I
WS 05/06
Blatt 6
Zeigen Sie:
a) Zwei Intervalle [a, b], [c, d] ⊂ R sind stets gleichmächtig. Ist (0, 1) gleichmächtig wie
R?
b) Es gibt keine ordnungserhaltende Bijektion von N nach Q, d.h., keine Bijektion
ϕ : N → Q mit n < m ⇒ ϕ(n) < ϕ(m) für alle n, m ∈ N.
Aufgabe 2
a) Verifizieren Sie, dass die komplexen Zahlen das Assoziativ- und das Distributivgesetz
erfüllen.
b) Sei a ∈ R. Finden Sie die Real- und Imaginärteile von
Ã
√ !3
1
−1 + i 3
z−a
1−i
2 − 3i
,
,
+
.
,
z
z+a
2
2+i
1 + 3i
Finden Sie die Beträge und die komplex Konjugierten von
(2 + i)(4 + 3 i),
Aufgabe 3
3−i
√
.
2 + 3i
Tschebyscheffsche Ungleichung
a) Zeigen Sie: Ist a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an und b1 ≤ b2 ≤ . . . ≤ bn , dann ist
¶ µ
¶ µ
¶
µ
b1 + b 2 + . . . + b n
a1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n
a1 + a 2 + . . . + a n
·
≤
.
n
n
n
Hinweis: Betrachten Sie
n
n X
X
(ai − ak )(bi − bk ).
i=1 k=1
b) Leiten Sie die Ungleichung im Spezialfall ai = bi für alle i = 1, . . . , n aus der Schwarzschen Ungleichung her.
Aufgabe 4
Zeigen Sie:
a) Zu jedem Paar reeller Zahlen a < b gibt es eine rationale Zahl q mit
a < q < b.
b) Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine Folge (qn )n∈N rationaler Zahlen mit
lim qn = a.
n→∞
c) Ist q : N → Q, n 7→ qn bijektiv (d.h., (qn )n∈N eine Abzählung von Q), dann ist jede
reelle Zahl a Häufungspunkt der Folge (qn )n∈N .
Abgabe der Aufgaben am 28.11. in der Vorlesung.