Analysis I - Universität Stuttgart
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Universität Stuttgart, Fakultät 8 Prof. M. Griesemer Sabine Poehler Aufgabe 1 Analysis I WS 05/06 Blatt 6 Zeigen Sie: a) Zwei Intervalle [a, b], [c, d] ⊂ R sind stets gleichmächtig. Ist (0, 1) gleichmächtig wie R? b) Es gibt keine ordnungserhaltende Bijektion von N nach Q, d.h., keine Bijektion ϕ : N → Q mit n < m ⇒ ϕ(n) < ϕ(m) für alle n, m ∈ N. Aufgabe 2 a) Verifizieren Sie, dass die komplexen Zahlen das Assoziativ- und das Distributivgesetz erfüllen. b) Sei a ∈ R. Finden Sie die Real- und Imaginärteile von à √ !3 1 −1 + i 3 z−a 1−i 2 − 3i , , + . , z z+a 2 2+i 1 + 3i Finden Sie die Beträge und die komplex Konjugierten von (2 + i)(4 + 3 i), Aufgabe 3 3−i √ . 2 + 3i Tschebyscheffsche Ungleichung a) Zeigen Sie: Ist a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an und b1 ≤ b2 ≤ . . . ≤ bn , dann ist ¶ µ ¶ µ ¶ µ b1 + b 2 + . . . + b n a1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n a1 + a 2 + . . . + a n · ≤ . n n n Hinweis: Betrachten Sie n n X X (ai − ak )(bi − bk ). i=1 k=1 b) Leiten Sie die Ungleichung im Spezialfall ai = bi für alle i = 1, . . . , n aus der Schwarzschen Ungleichung her. Aufgabe 4 Zeigen Sie: a) Zu jedem Paar reeller Zahlen a < b gibt es eine rationale Zahl q mit a < q < b. b) Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine Folge (qn )n∈N rationaler Zahlen mit lim qn = a. n→∞ c) Ist q : N → Q, n 7→ qn bijektiv (d.h., (qn )n∈N eine Abzählung von Q), dann ist jede reelle Zahl a Häufungspunkt der Folge (qn )n∈N . Abgabe der Aufgaben am 28.11. in der Vorlesung.
