Mathematik I für inf, swt Quiz 1

Mathematik I
Quiz 1
für inf, swt
Universität Stuttgart
Prof. Dr. E. Teufel
Dr. B. Ackermann
Das Quiz wird am 4.11.08 in den Gruppenübungen um 14.00 Uhr gestellt.
(Bearbeitungszeit 15 Minuten)
Name:
Aufgabe M1
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten n natürlichen Zahlen
sich durch die Formel n(n+1)
ausdrücken läßt.
2
Lösung
Induktionsanfang: Für n = 1 gilt, dass
natürlichen Zahlen ist.
1(1+1)
2
= 1 genau gleich der Summe der ersten n
Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, die Aussage sei für n richtig, also
n
X
k=1
k=
n(n + 1)
2
Induktionsschritt: Wir müssen zeigen, dass die Aussage für n + 1 richtig ist.
!
n
n+1
X
X
k + (n + 1)
k=
k=1
k=1
n(n + 1)
=
+ (n + 1) wegen der Induktionsvoraussetzung
2
n(n + 1) 2(n + 1)
+
=
2
2
(n + 1)(n + 2)
=
2
Mathematik I
für inf, swt
Quiz 1
Universität Stuttgart
Prof. Dr. E. Teufel
Dr. B. Ackermann
Das Quiz wird am 4.11.08 in den Gruppenübungen um 15.45 Uhr gestellt.
(Bearbeitungszeit 15 Minuten)
Name:
Aufgabe M1
(a) Wann heißen zwei Mengen A und B gleichmächtig ?
(b) Zeigen Sie, dass N und Z gleichmächtig sind.
Lösung
(a) Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion f : A → B gibt.
(b) Eine mögliche Bijektion zwischen Z und N ergibt sich durch die Aufzählung:
0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .
Mathematik I
für inf, swt
Quiz 1
Universität Stuttgart
Prof. Dr. E. Teufel
Dr. B. Ackermann
Das Quiz wird am 4.11.08 in den Gruppenübungen um 17.30 Uhr gestellt.
(Bearbeitungszeit 15 Minuten)
Name:
Aufgabe M1
(a) Sei R j M × M eine Relation. Wann heißt R antisymmetrisch ?
(b) Zeigen Sie: für M = N2 ist
R = {((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) | x1 5 y1 }
keine Ordnungsrelation.
Lösung
(a) Eine Relation R j M × M heißt antisymmetrisch wenn gilt:
(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R =⇒ x = y.
(b) Die Relation ist nicht antisymmetrisch, denn ((1, 2), (1, 3)) ∈ R und ((1, 3), (1, 2)) ∈ R,
aber (1, 2) 6= (1, 3).