Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg 10.November 2003

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Institut für Analysis und Numerik
Prof.Dr. Lutz Tobiska / Dipl.-Math. Piotr Skrzypacz
Ergänzungsübung 2
10.November 2003
zur Vorlesung Analysis I
WS 2003/2004
1. Durch Anwendung der Rechengesetze für endliche Summen zeige Sie:
2
n
X
aν bν = a1 b1 +
ν=1
n
X
(aν − aν−1 )bν +
ν=2
n−1
X
aν (bν + bν+1 ) + an bn
ν=1
n
X
n
X
b 1 a1
aν
aν−1
bn+1 an
aν =
+
bν
−
−
b1 − b2 ν=2
bν − bν+1 bν−1 − bν
bn − bn+1
ν=1
falls bλ 6= bλ+1 für jedes λ.
2. Zeigen Sie, dass für n ∈ N die folgenden Beziehung erfüllt ist:
n
Y
cos(2ν x) =
ν=0
sin(2n+1 x)
2n+1 sin x
für alle x 6= kπ , k ∈ Z .
3. Eine Aussageform heißt Tautologie, wenn sie bei jeder Belegung zu einer Aussage mit Wahrheitswert true wird. Seien A, B Aussagevariablen. Zeigen Sie, dass
folgende Aussageformen Tautologien sind.
(a) ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B)
(b) (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B)
(c) ¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B)
(d) (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
(e) (A ⇔ B) ⇔ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
4. A, B, C, D seien Mengen. Zeigen Sie:
(a) (A\B) = A\(A ∩ B) = (A ∪ B)\B;
(b) (A\B) ∩ (C\D) = (A ∩ C)\(B ∪ D);
(c) (A\B)\C ⊂ A\(B\C).
Geben Sie ein Beispiel dafür an, daß die Inklusion echt ist !
5. Beweisen Sie Minkowskische Ungleichung
!1/2
!1/2
n
n
X
X
≤
a2k
+
(ak + bk )2
k=1
k=1
n
X
k=1
!1/2
b2k
.
6. Es seien x1 , . . . , xn positive Zahlen. Beweisen Sie die Ungleichung zwischen arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel:
n
1 X
·
xk ≥
n k=1
(
n
Y
)1/n
xk
k=1
)−1
( n
X 1
≥n·
xk
k=1
Hinweis:
Verwenden Sie das folgende Lemma: Es seien x1 , . . . , xn positive Zahlen mit
n
n
Q
P
xk = 1. Dann ist
xk ≥ n, wobei das Gleicheitszeichen genau dann gilt,
k=1
k=1
wenn x1 = x2 = . . . = xn = 1 ist.
7. Es seien a, b, n gegebene natürliche Zahlen. Zeigen Sie, dass es Zahlen x, y ∈ N0
gibt mit x2 + y 2 = (a2 + b2 )n .
8. Skizzieren Sie folgende Teilmengen von C:
(a) A := {z ∈ C : |Re z| ≥ 1,
2 < Im z ≤ 4}
(b) B := {z ∈ C : 1 ≤ |z − 2 − 3i| ≤ 2}
(c) C := {z ∈ C : z−1 ≥ 1}
z+1