Technische Universität München Zentrum Mathematik

Prof. Dr. Rupert Lasser
Paul Bergold
Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Stochastik für Lehramt Gymnasium − Blatt 3
Wintersemester 2016/17
Lösungshinweise
Hausaufgabe 9
Beweisen Sie folgende Ungleichung:
xgeo ≤ x̄ und xgeo = x̄ ⇔ x1 = ... = xn .
Lösung zu Hausaufgabe 9
Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsanfang: Im Fall n = 1 gilt die Aussage mit Gleichheit.
Induktionsvoraussetzung: Für n positive reelle Zahlen gelte xgeo ≤ x̄.
Induktionsschritt: Gegeben seien die n + 1 positiven Zahlen x1 , ..., xn+1 . Das arithmetische Mittel x̄ dieser Zahlen erfüllt:
(n + 1)x̄ = x1 + ... + xn + xn+1 .
Im Falle x1 = ... = xn+1 = x̄ gilt die Ungleichung insbesondere mit Gleichheit. In allen
anderen Fällen finden wir eine Zahl die größer ist als x̄ und eine Zahl die kleiner ist als
x̄. Sei ohne Einschränkung xn > x̄ > xn+1 . Dann gilt
(xn − x̄)(x̄ − xn+1 ) > 0.
(1)
Mit y := xn + xn+1 − x̄ > xn − x̄ > 0 erhalten wir
nx̄ = x1 + ... + xn−1 + xn + xn+1 − x̄ = x1 + ... + xn−1 + y.
Daher ist x̄ das arithmetische Mittel der Zahlen x1 , ..., xn−1 , y. Nach Voraussetzung folgt
deshalb
x̄n+1 = x̄n · x̄ ≥ x1 · ... · xn−1 · yx̄.
Darüber hinaus gilt mit (1):
yx̄ − xn xn+1 = (xn + xn+1 − x̄)x̄ − xn xn+1 = (xn − x̄)(x̄ − xn+1 ) > 0,
also
yx̄ > xn xn+1 .
Somit folgt aus (2):
x̄n+1 > x1 · ... · xn−1 · xn xn+1 = xn+1
geo ,
was zu zeigen war.
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(2)