1 Quadratzahlen 2 Sup/Inf

OK leute, hier noch die paar Dinge, die ich nachreichen wollte. Darunter der Beweis
das die Differenz zweier Quadratzahlen immer ≥ 3 ist. Und noch ein bisschen zeug zu
sup und inf, sowie die eine aufgabe. Also auf:
1 Quadratzahlen
ZZ: ∀x, y ∈ N : x 6= y : x2 − y 2 ≥ 3
Beweis: es gilt:
(n + 2)2 = n2 + 4n + 4 ≥ n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
somit genügt es, die behauptung für 2 aufeinander folgende zahlen zu zeigen, da die
differenz zweiter weiter auseinander liegender Natürlicher Zahlen noch größer wäre.
(n + 1)2 − n2 = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1 ≥ 3 ∀n ∈ N
Somit gilt die Behauptung.
2 Sup/Inf
2.1 Supremum
Def.: Sei M ⊂ R eine nach oben beschränkte Menge. Das supremum s := sup M ist die
kleinste obere Schranke von M. D.h.:
i) ∀m ∈ M : m ≤ s
ii) ∀t : t ist obere Schranke von M : t ≥ s
Die Existenz ist nicht immer klar, jedoch befinden wir uns meistens in R, in welchem
als Vollständiger Körper jede noch oben beschränkte Menge ein supremum besitzt! Das
heißt ihr müsst meistens eigentlich die beschränktheit nachweisen. Daraus folgt dann
die Existenz eines Supremums. D.h.
∃s := sup M ⇔ M ist nach oben beschränkt
desweiteren gilt: s = max M wenn s in der Menge liegt und somit angenommen wird.
Also:
sup M = s = max M ⇔ s ∈ M
2.2 Infimum
Def.: Sei M ⊂ R eine nach unten beschränkte Menge. Das infimum s := inf M ist die
größte untere Schranke von M. D.h.:
i) ∀m ∈ M : m ≥ s
1
ii) ∀t : t ist untere Schranke von M : t ≤ s
Die Existenz ist nicht immer klar, jedoch befinden wir uns meistens in R, in welchem
als Vollständiger Körper jede noch unten beschränkte Menge ein Infimum besitzt! Das
heißt ihr müsst meistens eigentlich wieder die beschränktheit nachweisen. Daraus folgt
dann die Existenz eines Infimums. D.h.
∃s := inf M ⇔ M ist nach utnen beschränkt
desweiteren gilt: s = min M wenn s in der Menge liegt und somit angenommen wird.
Also:
inf M = s = min M ⇔ s ∈ M
2.3 Beispielaufgabe aus der Übung
Bestimmen sie Inf und Sup von:
M :=
x+
1 1
| < x ≤ 2, x ∈ R
x 2
Infimum:
Wir raten: inf M = 2. Da 2 ∈ M reicht zu zeigen, dass 2 eine untere Schranke ist. Es
gilt:
(x − 1)2 ≥ 0
⇒ x2 − 2x + 1 ≥ 0
⇒ x2 + 1 ≥ 2x
da x > 0 folgt:
x2 + 1
1
⇒
=x+
≥ 2
x
x
⇒ inf M = 2 = min M
2
Supremum:
Wir raten wieder sup M = 2, 5. Wird auch wieder angenommen! Es gilt:
0<x ≤ 2
1
⇒ x ≤ 1
2
1
⇒x−1 ≤
x
2
⇒ (x − 1) − 0, 5x ≤ 0
1
da |x − 1| ≤ 1 ∀x ∈
, 2 gilt:
2
⇒ (x − 1)2 −0, 5x ≤ 0
| {z }
≤(x−1)
2
⇒ x − 2x + 1 − 0, 5x ≤ 0
⇒ x2 + 1 ≤ 2, 5x
x2 + 1
1
⇒
=x+
≤ 2, 5
x
x
fertig! :)
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