Ubungen zu Analysis 1, 5. ¨Ubung (6. 11. 2012)

Übungen zu Analysis 1, 5. Übung (6. 11. 2012) )
1. Zeigen Sie für eine beschränkte Teilmenge A von R, c ∈ R gilt
sup{c+a : a ∈ A} = c+sup{a : a ∈ A} und inf{c+a : a ∈ A} = c+inf{a : a ∈ A}
sowie für Funktionen f, g auf A nach R für die f (A) und g(A) beschränkt sind
gilt: aus f (a) ≤ g(a) ∀a ∈ A folgt inf{ f (a) : a ∈ A} ≤ inf{g(a) : a ∈ A} und
sup{ f (a) : a ∈ A} ≤ sup{g(a) : a ∈ A}.
2. Auf einer Menge X heißt eine Abbildung p : X × X → R+0 Pseudometrik, wenn
gilt
• p(x, x) = 0 ∀x ∈ X
• p(x, y) = p(y, x) ∀x, y ∈ X
• p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) ∀x, y, z ∈ X (Dreiecksungleichung)
Eine Abbildung d : X × X → R+0 ist also genau dann eine Metrik, wenn d eine
Pseudometrik ist, die (d(x, y) = 0) ⇒ (x = y) erfüllt.
Sei (X, d) ein metrischer Raum und M ∈ R mit d(x, y) < M ∀x, y ∈ X. Zeigen
Sie, dass durch
!
p(A, B) := max sup inf d(a, b), sup inf d(a, b)
A, B ⊆ X
a∈A b∈B
b∈B a∈A
eine Pseudometrik auf der Menge P(X) \ ∅ (Menge der nichtleeren Teilmengen
von X) definiert wird.
Hinw.: Zeigen sie mit der Dreiecksungleichung auf (X, d), dass für B, C ∈ P(X),
a ∈ A und b ∈ B gilt
inf d(a, c) ≤ d(a, b) + p(B, C),
c∈C
und damit, dass
sup inf d(a, c) ≤ p(A, B) + p(B, C)
a∈A c∈C
gilt.
Zeigen Sie dass diese Pseudometrik im Allgemeinen keine Metrik ist.
3. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort!
- (( 21 + i 21 )n )n∈N in C versehen mit der euklidischen Metrik.
- ( n+1 1 )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik.
n2
4. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort!
n
- ( (−1)
3n+1 +
i
)
3n+1 n∈N
in C versehen mit der euklidischen Metrik.
- (S n )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik, wobei S n =
1
1
(Beachte n(n+1)
= 1n − n+1
).
Pn
1
j=1 ( j( j+1) )
+4n
5. Man betrachte die Folge ( 2n2n2 +4n−4
)n∈N in R. Man bestimme ihren Grenzwert x.
Weiters bestimme man zu einem gegebenen > 0 das kleinst mögliche N ∈ N,
sodass
2n2 + 4n x
−
< , ∀n ≥ N.
2n2 + 4n − 4 2
6. Man betrachte die Folge ( n1 + in )n∈N in C. Geben Sie ein > 0 und eine Teilfolge
1
( n(k)
+ in(k) )k∈N von ( n1 + in )n∈N an, sodass
!
1
n(k)
d2 1,
+i
≥ ,
n(k)
für alle k ∈ N.
7. Geben Sie eine unbeschränkte Folge in R an, die eine konvergente Teilfolge hat!
Weiters geben Sie eine unbeschränkte Folge in R an, die keine konvergente Teilfolge hat, die aber auch nicht monoton wachsend ist!
8. Sei hX, di ein metrischer Raum. Seien (xn )n∈N , (yn )n∈N zwei Folgen in X, die
gegen den selben Grenzwert x konvergieren. Man zeige, dass dann auch die
gemischte Folge (zn )n∈N gegen x konvergiert, wobei z2k = xk , k ∈ N und
z2k−1 = yk , k ∈ N.
9. Zifferndarstellung reeller Zahlen:
Sei b ∈ N, b ≥ 2. Wir betrachten Folgen (zn )n∈N∪{0} bestehend aus ganzen Zahlen,
sodass zn ∈ {0, 1, . . . , b − 1} für n ≥ 1. Weiters fordern wir, dass die Folge nicht
ab einem gewissen Index aus lauter Zahlen b − 1 besteht (d. h. ∀N ∈ N∃n ≥ N :
zn , b − 1). Die Menge aller solchen Folgen bezeichnen wir mit D.
Man zeige: Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine Folge (zn )n∈N∪{0} ∈ D, sodass die
durch
n
X
1
an = z0 +
zj j ,
b
j=1
definierte Folge rationaler Zahlen (an )n∈N gegen x konvergiert.
Hinweis: Für x ≥ 0 setze z0 = [x] (größte ganze Zahl ≤ z). Dann definiere zn
rekursiv so, dass an ≤ x und dass der Abstand von x zu an möglichst klein wird.
Dieser Abstand ist dann ≤ b−n .
Bemerkung: Für b = 10 erhält man die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl,
wenn x ≥ 0.
10. Für ein a ∈ N, a ≥ 2 und n ∈ Z\{0} sei ta (n) := max{l ∈ N0 : al ist Teiler von n}.
Auf Z sei für k , l mit k, l , 0 d1 (k, l) := a− min(ta (k),ta (l)) , d1 (k, 0) = d1 (0, k) :=
a−ta (k) , k ∈ Z \ {0} und d1 (k, k) = 0, k ∈ Z definiert.
Zeigen Sie dass d1 eine Metrik auf N definiert in der gilt: Ist k , 0 und konvergiert eine Folge (ni )i∈N in (Z, d1 ) gegen k, so gibt es ein i0 ∈ N mit ni = k für
i ≥ i0 .