Aufgabe 1 (4+4=8 Punkte) Aufgabe 2 (2+3+3=8 Punkte) Aufgabe 3

Aufgabe 1
(4+4=8 Punkte)
Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen mit 0 ≤ an ≤ 1 für alle n ∈ N. Zeigen Sie mit vollständiger
Induktion:
n Q
2
(i)
1 − k(k+1)
= 13 1 + n2 für alle n ∈ N mit n ≥ 2.
k=2
(ii)
n
Q
(1 − ak ) ≥ 1 −
n
P
ak für alle n ∈ N.
k=0
k=0
Aufgabe 2
(2+3+3=8 Punkte)
Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls
ihren Grenzwert:
√
(i) n6 + 1 − n3 .
(ii)
(iii)
1
n2
2
−n+4
+ (−1)n nn2 +3n+1
.
1+2+...+n
n+2
− n2 .
Aufgabe 3
(6 Punkte)
Sei 0 < x0 < 1. Durch xn+1 = 31 (x2n + 2) für n ∈ N werde rekursiv eine Folge definiert. Zeigen
Sie, dass diese Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
Aufgabe 4
(2+2+4=8 Punkte)
Seien (an )n∈N , (bn )n∈N Folgen reller Zahlen. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(i) Die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N konvergieren genau dann, wenn die Folgen (an + bn )n∈N
und (an − bn )n∈N konvergieren.
(ii) Sind die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N beschränkt und divergent, so ist die Folge (an +bn )n∈N
divergent.
(iii) Ist an > 0 für alle n ∈ N, so konvergiert die Reihe
∞
P
n=0
∞
P
an genau dann, wenn die Reihe
n=0
an
1+an
konvergiert.
Aufgabe 5
(2+3+3=8 Punkte)
Untersuchen Sie die nachstehenden Reihen auf Konvergenz, Divergenz und absolute Konvergenz:
(i)
∞
P
n=1
(ii)
n
∞ 2
P
n +2n
n=1
(iii)
1+(−1)n
.
n
∞
P
n=1
3n2 +5
1
n2
1+
.
1 n
n .
(bitte wenden)
Aufgabe 6
(7 Punkte)
Entscheiden Sie für jedes x ∈ R, ob die Reihe
∞
X
(−1)n
1
2+
xn
n
n
n=1
konvergiert oder divergiert.
Aufgabe 7
(3+4=7 Punkte)
(i) Sei ∅ 6= A eine nach oben beschränkte Menge und B eine nicht leere Menge. Zeigen Sie:
Existiert für jedes x ∈ B ein x0 ∈ A mit x < x0 , so ist auch B nach oben beschränkt und
es gilt sup B ≤ sup A. Gilt in dieser Situation bereits sup B < sup A?
(ii) Seien A, B beschränkte nicht leere Mengen. Zeigen Sie: A ∪ B ist beschränkt mit
sup(A ∪ B) = max(sup A, sup B)
und
inf(A ∪ B) = min(inf A, inf B).
Aufgabe 8
(4+4=8 Punkte)
(i) Seien (an )n∈N , (bn )n∈N beschränkte Folgen in R. Zeigen Sie, dass
lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn .
n→∞
(ii) Für n ∈ N∗ sei xn = (−1)n +
n→∞
1
n2
n→∞
n(n+1)
+ 3 + (−1) 2 n1 . Bestimmen Sie lim sup xn und
lim inf xn . Folgern Sie, dass die Folge (xn )n∈N divergiert.
n→∞
Viel Erfolg!
n→∞