Ubungen zu Analysis 1, 10. ¨Ubung 11. 12. 2012

Übungen zu Analysis 1, 10. Übung 11. 12. 2012
1. Zeigen Sie dass die Funktion f ((x, y)) = x5 + 2y4 + x − y + 7 auf der Menge
K := {(x, y) ∈ R2 : x6 + y4 − y3 − 3x2 − y ≤ 2} ihr Minimum annimmt.
Hinw.: Zeigen Sie dass K eine kompakte Teilmenge des R2 ist und betrachten
Sie eine Folge ((xn , yn ))n∈N mit f ((xn , yn )) → inf{ f ((x, y)) : (x, y) ∈ K}.
2. Es sei K eine kompakte Menge in einem metrischen Raum (X, d) und f : K → K
eine Abbildung, die d( f (x), f (y)) ≤ δd(x, y) für ein δ < 1 und alle x, y ∈ K erfüllt.
Dann hat die Gleichung f (z) = z eine Lösung in K.
Hinw.: Zeigen Sie: Für beliebiges z1 ∈ K wird durch zn+1 := f (zn ) eine Cauchyfolge in K definiert, dass diese gegen ein z ∈ K konvergiert und zeigen Sie
d( f (z), z) ≤ d( f (z), f (zn )) + d( f (zn ), zn ) + d(zn , z).
3. Ist E , ∅ eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes ohne Häufungspunkte, so ist E endlich. Verwenden Sie, dass eine Menge E genau dann nicht
endlich ist, wenn es eine injektive Abbildung von N nach E gibt.
4. Man zeige: Sind (an ) und (bn ) zwei beschränkte reelle Folgen mit limn→∞ an =
a < 0, dann ist lim inf n→∞ an bn = a lim supn→∞ bn .
Hinweis: Arbeiten Sie mit der Charakterisierung von lim inf als kleinster und
lim sup als größter Häufungspunkt!
5. Sei (xn ) eine beschränkte reelle Folge und η ∈ R. Man zeige, dass für x :=
lim supn→∞ xn genau dann x < η gilt, wenn es ein q < η gibt, sodass xn ≤ q für
alle bis auf endlich viele n ∈ N.
Anmerkung: Damit gilt folgende Formulierung des Quotienten- und des Wurzel∞
P
kriteriums für konvergente Reihen: Sei
ak , eine Reihe mit reellen oder komk=1
plexen Summanden. Dann gilt:
(i) Ist
pk
lim sup |ak | < 1, ,
k→∞
so ist die Reihe
∞
P
ak absolut konvergent.
k=1
(ii) Gilt
lim sup
k→∞
so ist die Reihe
∞
P
|ak+1 |
< 1, ,
|ak |
ak absolut konvergent.
k=1
6. Sind folgende Mengen offen, abgeschlossen, beschränkt, kompakt?
T
• n∈N (−1 − 1n , 1 + 1n ) × (− 1n , 2 + 1n ) in (R2 , d2 )
S
• {0} ∪ n∈N [ 1n , 1n + n12 ] in (R, d2 )
T
• n∈N {(x, y) ∈ R2 : y ∈ (− n12 , n12 )} in (R2 , d2 )
7. Sei (X, d) ein vollständig metrischer Raum. Man zeige, dass F ⊆ X genau dann
abgeschlossen ist, wenn der metrische Raum (F, d) (hier ist d die Einschränkung
von der Metrik von X auf die Teilmenge F) vollständig ist.
8. Gibt es eine Anordnung der natürlichen Zahlen σ für die die Reihe
∞
X
(−1)[l/3]
√3
l
l=1
gegen e2 /12 konvergiert? (e ist die Euler’sche Zahl siehe 6. Übung, [x] =
max{n ∈ N : n ≤ x})
9. Zeigen Sie, dass die Reihe
(−1)n+k
n3 + k3
(n,k)∈N×N
X
unbedingt konvergiert.
Hinw.: Zeigen Sie 7(n3 + k3 ) ≥ (n + k)3 und betrachten Sie
10. Ist die Reihe
P∞ P
l=2
1
n+k=l n3 +k3 .
(−1)n+1
n2 + k2
(n,k)∈N×N
X
unbedingt konvergent?
Zeigen Sie dass die Doppelreihe
∞ X
∞
X
(−1)n+1
k=1 n=1
n2 + k2
konvergiert.
P (−1)n+1
1
Hinw:: Zeigen Sie 0 ≤ ∞
n=1 n2 +k2 ≤ 1+k2 indem Sie zeigen, dass die ungeraden
Partialsummen s2n+1 eine monoton fallende Folge bilden, die nach unten durch
0 beschränkt ist