Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ-LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2016
Blatt 4
Abgabetermin: 09.05.2016
Aufgabe 13
(2+2+1+1=6 Punkte)
Gegeben sei eine konvergente Folge (xn )n∈N mit lim xn = x ∈ R und eine Zahl c ∈ R.
x→∞
(a) Zeigen Sie:
x > c ⇒ (∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 ∶ xn > c)
Hinweis: Wenden Sie die oben vorausgesetzte Konvergenz auf ein geeignetes ε > 0 (in Abhängigkeit von x und c) an.
(b) Zeigen Sie:
(∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 ∶ xn ≥ c) ⇒ x ≥ c
Hinweis: Beweis über Kontraposition bzw. Widerspruchsbeweis.
(c) Widerlegen Sie die Umkehrungen der Aussagen in (a) und (b) jeweils durch ein Gegenbeispiel.
(d) Formulieren Sie analoge Aussagen der Form
● x < c ⇒ ...
●
... ⇒ x ≤ c
(Sie brauchen diese dann nicht auch noch zu beweisen, da die Beweise völlig analog zu denen
in (a) und (b) verlaufen.)
Aufgabe 14
(3+1+2=6 Punkte)
(a) Sei (an )n∈N eine Folge in R mit an ≥ 0 für alle n ∈ N und lim an = a ∈ [0, ∞). Zeigen
√ n→∞
√
Sie mit der ε-n0 -Definition, dass dann auch lim an = a gilt.
√ n→∞
√
Hinweis: Im Fall a > 0 kann man ∣ an − a∣ geschickt erweitern (denken Sie dabei an die
dritte binomische Formel), vereinfachen und dann nach oben abschätzen. Der Fall a = 0 ist
einfacher.
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte und Teil (a) den Grenzwert
der Folge (an )n∈N mit:
¿
Á 4n + √n + 1
À
√
an = Á
(n ∈ N)
n + 3n + 5
√
√
(c) Sei c > 0 fest. Zeigen Sie, dass die Folge ( n + c − n)n∈N gegen 0 konvergiert.
Hinweis: Man kann zunächst geschickt erweitern, dann vereinfachen und schließlich das
Sandwich-Kriterium und Teil (a) anwenden.
Verwenden Sie für Aufgabe 16 und 17 den folgenden (in der Vorlesung gezeigten) Satz:
Satz: Für eine Folge (xn )n∈N reeller Zahlen gilt:
1.)
2.)
(xn )n∈N monoton wachsend und nach oben beschränkt ⇒
(xn )n∈N monoton fallend und nach unten beschränkt
⇒
Aufgabe 15
(xn )n∈N konvergent
(xn )n∈N konvergent
(1+1+2=4 Punkte)
Wir betrachten die Folge (xn )n∈N die definiert wird durch:
x0 ∶= 2
und xn+1 ∶=
xn 2 + 2
für n ∈ N
2 ⋅ xn
Anmerkung: Die Folge ist rekursiv definiert. Es gilt beispielsweise:
x0 = 2
22 + 2 3
x1 =
=
2⋅2
2
⇒
2
⇒
x1 =
( 32 ) + 2
2⋅
3
2
17
=
12
2
⇒
x1 =
( 17
) +2
12
2⋅
17
12
=
577
408
usw.
√
(a) Zeigen Sie: Für alle n ∈ N gilt xn ≥
2.
Hinweis: Sie können (im Fall n ≥ 1) die Behauptung mittels Äquivalenzumfomrungen in eine
offensichtlich wahre Aussage umformen. (Nutzen Sie dazu die rekursive Definition der Folge
und eine binomische Formel.)
(b) Zeigen Sie: Die Folge (xn )n∈N ist monoton fallend.
Hinweis: Auch hier sind Äquivalenzumformungen der zu zeigenden Ungleichung hilfreich.
Nutzen Sie außerdem Teil (a).
(c) Begründen Sie, dass die Folge (xn )n∈N konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
Hinweis: Gilt lim xn = x, so folgt auch lim xn+1 = x (wieso?). Darauf aufbauend können Sie
n→∞
n→∞
(mit der rekursiven Definition der Folge und den Rechenregeln für Grenzwerte) eine Gleichung
für x herleiten.
Aufgabe 16
(4 Punkte)
Man nennt eine Folge (In )n∈N von abgeschlossenen Intervallen ∅ =/ In = [an , bn ] (mit
an ≤ bn ) eine Intervallschachtelung (IVS), falls die folgenden Bedingungen gelten:
(i) Für alle n ∈ N ist In+1 ⊆ In .
(ii) Es gilt lim (bn − an ) = 0.
n→∞
Beweisen Sie das Intervallschachtelungsprinzip:
Zu jeder IVS (In )n∈N existiert genau ein x ∈ R mit x ∈ In für alle n ∈ N.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst Beschränktheit und Monotonie der Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N .
Beweisen Sie dann, dass beide Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren
Diese Übungsblätter finden Sie unter:
https://www.uni-koblenz-landau.de/de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/ana-sose16