Kapitel 12: Grundlagen über reelle Zahlen

Kapitel 12:
Grundlagen über reelle Zahlen
12.1 Angeordnete Körper
12.2 Archimedische und vollständige Körper
12.3 Wurzeln
12.4 Die reellen Zahlen als Dedekind-Schnitte
12.5 Absolutbetrag und Bewertungen
Anordnungsaxiome — Definition 12.1.1
Totale Ordnung auf Körper K heißt Anordnung,
falls:
(A1) y ≺ z ⇒ x + y ≺ x + z;
(A2) 0 ≺ x und 0 ≺ y ⇒ 0 ≺ xy.
P := {x ∈ K : 0 ≺ x} zu gehörender Positivbereich.
Entweder x ≺ 0 oder x = 0 oder 0 ≺ x.
Eigenschaften von (K, ) bzw. (K, P ) — Lemma 12.1.5
1. x 6= 0, so x2 ∈ P .
2. x ∈ P , so
1
x
∈ P.
3. 1 ∈ P .
4. x y und 0 a, so ax ay.
5. x y und a 0, so ay ax.
6. x, y ∈ P und x y, so
1
y
x1 .
Beschränkte Intervalle — Definition 12.1.11
a, b ∈ K mit a < b.
• [a, b] := {x ∈ K : a ≤ x ≤ b}:
abgeschlossenes Intervall
• (a, b) := {x ∈ K : a < x < b}:
offenes Intervall
• (a, b] := {x ∈ K : a < x ≤ b}:
links offenes, rechts abgeschlossenes Intervall
• [a, b) := {x ∈ K : a ≤ x < b}:
links abgeschlossenes, rechts offenes Intervall
Unbeschränkte Intervalle — Definition 12.1.12
−∞ und ∞ zwei Symbole, a ∈ K.
• (−∞, a] := {x ∈ K : x a}
• (−∞, a) := {x ∈ K : x ≺ a}
• [a, ∞) := {x ∈ K : a x}
• (a, ∞) := {x ∈ K : a ≺ x}.
Rechengesetze auf K ∪ {−∞, ∞}
a∈K
• −∞ ≺ a ≺ ∞
• −∞ + a := −∞
• a + ∞ := ∞
• 0 < a, so a · ∞ := ∞ und −∞ · a = −∞
• a < 0, so a · ∞ := −∞ und −∞ · a = ∞
• −∞ + ∞ bzw. o · ∞ bzw. 0 · (−∞) nicht definiert
Obere Schranke, Supremum, Maximum (5.8.1, 12.2.6)
(M, ) total geordnet, B ⊆ M . B heißt
• nach oben beschränkt: ⇔
es gibt c ∈ M mit b c für alle b ∈ B
• c heißt dann obere Schranke von B
• c ist Supremum (kleinste obere Schranke)
von B: ⇔
c ob. Schranke und c d für jede ob. Schranke d
von B;
Schreibweise: c = sup(B)
• falls sup(B) existiert und sup(B) ∈ B, so nennt
man sup(B) das Maximum non B, Schreibweise:
max(B)
Supremum-Eigenschaft — Definition 12.2.7
wird von (M, ) erfüllt, falls gilt:
• jedes nicht leere nach oben beschränkte B ⊆ M
hat ein Supremum
Untere Schranke, Infimum, Minimum (5.8.1, 12.2.6)
(M, ) total geordnet, B ⊆ M . B heißt
• nach unten beschränkt: ⇔
es gibt c ∈ M mit c b für alle b ∈ B
• c heißt dann untere Schranke von B
• c ist Infimum (größte untere Schranke) von
B: ⇔
c unt. Schranke und d c für jede unt. Schranke d
von B;
Schreibweise: c = inf(B)
• falls inf(B) existiert und inf(B) ∈ B, so nennt man
inf(B) das Minimum non B, Schreibweise: min(B)
Infimum-Eigenschaft — Definition 12.2.7
wird von (M, ) erfüllt, falls gilt:
• jedes nicht leere nach unten beschränkte B ⊆ M
hat ein Infimum
Potenz- und Wurzelgesetze — Bemerkung 12.3.5
√
√
n m
∗
n m
1. a ≥ 0 und
m,
n
∈
N
,
so
a
a ;
=
p
p
√
√
√
a = m n a.
ebenso n m a = nm √
Definiere also aq := n xm, wobei q = mn ∈ Q+
2. q ∈ Q mit q < 0, so aq :=
1
a−q
3. (ab)q = aq · bq für alle a, b ≥ 0 und alle q ∈ Q
4. (aq )p = aqp und aq · ap = aq+p
für p, q ∈ Q und a > 0
5. aq < bq für alle a, b mit 0 ≤ a < b und alle q ∈ Q+;
bei q < 0, so ist aq > bq für alle a, b mit 0 < a < b.
Dedekind-Schnitt — Definition 12.4.1
heißt jede Teilmenge α von Q mit ∅ =
6 α 6= Q und mit:
• für jedes p ∈ α ist {q ∈ Q : q ≤ p}
echte Teilmenge von α.
Beispiele:
1
(−∞, )
2
{x ∈ Q : x3 < 2}
{x ∈ Q+ : x2 < 2} ∪ (−∞, 0]
Konstruktion der reellen Zahlen — Satz 12.4.3
Sei R die Menge aller Dedekind-Schnitte (R wird R sein).
Man kann auf R eine Addition ⊕, eine Multiplikation ⊙
und eine Anordnung ≤ erklären, bzgl. der R ein vollständig
angeordneter Körper wird, der den Körper (Q, +, ·)
der rationalen Zahlen enthält, wobei ≤ auf R die natürliche Ordnung von Q fortsetzt.
• Anordnung ist ⊆.
• Einbettung von Q durch φ : Q → R, q 7→ (−∞, q)
• Addition: α ⊕ β := {a + b : a ∈ α, b ∈ β}
• Multiplikation (zunächst auf R+):
α⊙β := {p ∈ Q : ∃r ∈ α∩Q+, ∃s ∈ β∩Q+ mit p ≤ rs}
Falls einer der Faktoren α oder β nicht in R+ enthalten ist, so Fallunterscheidung:


(−α)
⊙
(−β),
falls
α
<
φ(0),
β
<
φ(0),


α⊙β :=
−((−α) ⊙ β), falls α < φ(0), β > φ(0),


−(α ⊙ (−β)), falls α > φ(0), β < φ(0)
Zum Absolutbetrag — Lemma 12.5.2
(K, ≤) angeordnet und x, a ∈ K. Dann:
1. |x| = | − x| ≥ x
2. |x| ≥ 0 (und |x| = 0 ⇔ x = 0)
3. falls a ≥ 0, so
|x| ≤ a
⇔ x ≤ a und −x ≤ a
⇔ x ≤ a und x ≥ −a
4. {x, −x} = {|x|, −|x|}
Eigenschaften des Absolutbetrages — Lemma 12.5.3
(K, ≤) angeordnet und x, y ∈ K. Dann:
1. (a) |xy| = |x| · |y| (b) ist y 6= 0, so ist xy =
|x|
|y|
2. Dreiecksungleichung: |x + y| ≤ |x| + |y|
3. |x| − |y| ≤ |x − y|
4. |x| − |y| ≤ |x + y|
5. ||x| − |y|| ≤ |x − y|
Eigenschaften einer Bewertung — Lemma 12.5.5
η : L → K Bewertung. Dann:
1. η(1) = 1
2. η(x) = η(−x)
3. |η(x) − η(y)| ≤ η(x + y)
4. |η(x) − η(y)| ≤ η(x − y)