Ubungsblatt 2 zur Vorlesung Analysis I - Ruhr

Übungsblatt 2 zur Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Holger Dette
Dominik Tomecki
WS 2015/2016
Abgabe bis Montag, den 9.11.15 um 10:00 in den Zettelkästen auf NA 02.
Aufgabe 1.
(3 Punkte)
Es seien a, b, c, d ∈ R reelle Zahlen. Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen:
i) (|a| − |b|)2 ≤ |a2 − b2 |.
ii) |a − b| − |c − d| ≤ |a − c| + |b − d|.
Aufgabe 2.
(3 Punkte)
Es sei K ein Körper, x ∈ K und y, z ∈ K \ {0}. Folgern Sie die folgenden Aussagen direkt
aus den Körperaxiomen und Folgerung 3.2 (ii) im Skript. Achten sie dabei auf Klammern und
verwenden Sie dabei nicht die Bezeichnungen aus Folgerung 3.2 (vii).
i) y −1 6= 0 und (y −1 )−1 = y.
ii) (y · z)−1 = z −1 · y −1 .
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
Es seien X, Y ⊂ R nichtleere, beschränkte Mengen. Wir definieren die neuen Mengen
−X := {−x | x ∈ X},
X + Y := {x + y | x ∈ X und y ∈ Y }.
Beweisen Sie:
i) −X und X + Y sind beschränkt.
ii) sup(−X) = −(inf X).
iii) sup(X + Y ) = (sup X) + (sup Y ).
Aufgabe 4.
(6 Punkte)
Es seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Funktion.
i) Beweisen Sie, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:
a) f ist injektiv.
b) Für alle Mengen A, B ⊂ X gilt f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
c) Für alle Mengen A ⊂ X gilt f (Ac ) ⊂ f (A)c .
ii) Beweisen Sie, dass die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
a) f ist surjektiv.
b) Für alle Mengen A ⊂ X gilt f (A)c ⊂ f (Ac ).
iii) Folgern Sie aus (ii) und (iii):
f ist genau dann bijektiv, wenn für alle A ⊂ X die Gleichung f (Ac ) = f (A)c gilt.
Die Komplemente sind jeweils bezüglich X bzw. Y zu bilden. Benutzen Sie für den ersten
Aufgabenteil einen Ringschluss, d.h. zeigen Sie einzeln die Aussagen “a) =⇒ b)”, “b) =⇒ c)”
und “c) =⇒ a)”.
B Hinweis: Die Zettel können in Gruppen von bis zu drei Studenten abgegeben werden. Verwen-
den Sie für jede Aufgabe ein eigenes Blatt und tackern ggf. mehrseitige Lösungen einer einzelnen
Aufgabe zusammen. Notieren Sie außerdem auf jedem Zettel die Namen und Matrikelnummern aller
Beteiligten, sowie die Nummer der Übungsgruppe. Dort erfolgt dann die Rückgabe der Zettel.