Lineare Algebra I für Lehramt Blatt 1

Prof. Dr. Franz Kalhoff
Marcel Hoya, M. Sc.
WS 2017/18
Abgabe bis Dienstag, 17.10.2017, 12 Uhr
Aufgaben zur Vorlesung
Lineare Algebra I für Lehramt
Blatt 1
Übungsaufgaben:
Aufgabe 1 (Aussagenlogik mit Wahrheitstafeln). Es seien A, B, C Aussagen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe von Wahrheitstafeln:
(a) (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) ⇔ (A ⇔ B),
(b) (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ∧ (C ⇒ A) ⇔ (A ⇔ B) ∧ (B ⇔ C).
Aufgabe 2 (Aussagenlogik und Mengenlehre).
(a) Es seien A, B, C Aussagen. Beweisen Sie folgende Aussagen mit Hilfe
von Wahrheitstafeln (dabei können Sie die ersten drei Aussagen in einer
Wahrheitstafel zusammenfassen):
(i) ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B,
(ii) ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B,
(iii) A ∧ B ⇔ ¬(¬A ∨ ¬B),
(iv) (A ∧ B) ∧ ¬C ⇔ (A ∧ ¬C) ∧ (B ∧ ¬C),
(v) A ∧ ¬(B ∨ C) ⇔ (A ∧ ¬B) ∧ (A ∧ ¬C).
(b) Für zwei Mengen X, M mit X ⊂ M definieren wir das Komplement von X
bez. M als X := M \ X. Es seien nun A, B, C Mengen mit A, B, C ⊂ M .
Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
Hinweis: Versuchen Sie dabei bereits bekannte Aussagen zu verwenden.
(i) A ∩ B = A ∪ B,
(ii) A ∪ B = A ∩ B,
(iii) A ∩ B = A ∪ B,
(iv) (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),
(v) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
Aufgabe 3 (Formulieren von Mengen).
(a) Geben Sie die Mächtigkeit der folgenden Mengen an und skizzieren Sie die
letzten beiden:
1
(i) {1, 2, 3, 4, 5} ∪ {−2, −1, 0, 1, 2},
(ii) ∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}},
(iii) {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 10} ∩ Z,
(iv) {x ∈ R | 0 ≤ |x| ≤ 20} ∩ N,
(v) {(x, y) ∈ R × R | y 2 = 1 − x2 }, x ∈ R, 0 < x < 1,
(vi) {(x, y) ∈ R × R | y 2 = 1 − x2 , x ∈ R, 0 < x < 1}.
(b) Bestimmen Sie die Potenzmenge der folgenden Mengen:
(i) ∅,
(ii) {∅},
(iii) {1, 2, 3},
√
(iv) {A, B} für A = {1, 2, 3, 4} und B = {e, π, 2, −1, −2, −3, −4}.
(c) Geben Sie die folgenden Mengen sowohl in aufzählender, als auch beschreibender Mengenschreibweise an, d.h. in der Form {x ∈ M | A(x)}:
(i) die Menge aller reellen Zahlen deren Quadrat 1 ist,
(ii) die Menge aller reellen Zahlen deren Quadrat −1 ist,
(iii) die Menge aller natürlichen Zahlen die durch 3 teilbar ist,
(iv) die Menge aller 2-Tupel ganzer Zahlen, deren Summe 5 ist.
Aufgabe 4 (Mengenlehre).
(a) Untersuchen Sie die folgenden Mengen unter Verwendung von A = B ⇔
(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) für zwei Mengen A und B auf Gleichheit:
(i) A = {z ∈ Z | es existiert ein m ∈ Z mit z = 8m + 5},
B = {z ∈ Z | es existiert ein m ∈ Z mit z = 8m − 3},
(ii) A = {z + z 0 ∈ Z | z, z 0 ∈ Z}, B = {2z ∈ Z | z ∈ Z},
(iii) A = {(x, y) ∈ Q × Q | x + y = 5 und x − y = −3}, B = {(1, 4)}.
(b) Es sei M eine Menge und A, B ⊂ M Teilmengen. Wir definieren die
symmetrische Differenz von A, B durch A 4 B := (A \ B) ∪ (B \ A),
Beweisen Sie die folgenden Aussagen für A, B, C ⊂ M :
(i) A 4 B = (A ∪ B) \ (A ∩ B),
(ii) A 4 B = B 4 A (Kommutativität),
(iii) A 4 (B 4 C) = (A 4 B) 4 C (Assoziativität).
Berechnen Sie zusätzlich noch die Ausdrücke A 4 ∅, A 4 A, A 4 A, A 4 M .
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