Vorkurs Mathematik - SoSe 2017

Vorkurs Mathematik - SoSe 2017
Regula Krapf
Übungsblatt 4
Dies ist eine große Auswahl von Übungsaufgaben - Es wir keineswegs erwartet,
dass innerhalb eines Nachmittags alle Aufgaben gelöst werden!
Aufgabe 1. Seien a, b und c (mathematische) Objekte.
(a) Es gelte {a, b} = {c}. Zeigen Sie a = b.
(b) Es gelte {a, b} = {a, c}. Beweisen Sie, dass b = c gilt.
Aufgabe 2. Seien a, b, c und d (mathematische) Objekte. Es gelte {a, b, c} =
{a, b, d}. Gilt dann c = d? Beweisen Sie oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 3. Beweise die de Morganschen Regeln für Mengen A, B, C:
(a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
(b) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
Aufgabe 4. Seien A und B Mengen mit A ∩ B = ∅ und A ∪ B = A. Folgern
Sie, dass B = ∅.
Hinweis: Machen Sie einen Widerspruchsbeweis!
Aufgabe 5. Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B ist definiert
als
A � B := (A \ B) ∪ (B \ A).
(a) Stellen Sie A � B in einem Venn-Diagramm dar und erläutern Sie, wieso
der Name “symmetrische Differenz” Sinn macht.
(b) Zeigen Sie die Äquivalenz
A � B = ∅ ⇐⇒ A = B.
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Aufgabe 6. Berechnen Sie die Potenzmenge von folgenden Mengen:
(a) ∅
(b) {1, 2, 3}
(c) {{1}, {2, 3}}
Aufgabe 7. Gelten folgende Gleichheiten für alle Mengen A und B? Beweisen
Sie oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
(a) P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B)
(b) P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)
Aufgabe 8. Ein Dreieck heißt gleichschenklig, falls es zwei gleich lange Seiten
hat. Beweisen Sie per Ringschluss, dass die folgenden Aussagen für ein Dreieck
Δ = ΔABC äquivalent sind:
(1) Δ ist gleichschenklig.
(2) Δ hat zwei gleich lange Höhen.
(3) Δ hat zwei gleich große Winkel.
Hinweis: Verwenden Sie die Kongruenzsätze!
Zusatzaufgabe: Finden Sie noch weitere Eigenschaften von Δ, die zu (1) - (3)
äquivalent sind.
Aufgabe 9. Zeigen Sie, dass eine natürliche Zahl n genau dann durch 3 teilbar ist, wenn sie als Summe von drei aufeinander folgenden Zahlen dargestellt
werden kann.
Aufgabe 10. Man kann die Binomialkoeffizienten
�n �
k
(für n, k ∈ N mit k ≤ n)
alternativ definieren als die Anzahl Möglichkeiten, eine k-elementige Teilmenge
aus einer n-elementigen Menge (z.B. {1, . . . , n}) auszuwählen.
Argumentieren Sie (informell), wieso diese Definition der Definition aus der
Vorlesung entspricht.