Ubungsblatt 11

30. Juni 2017
Analysis 2 - Übungsblatt 11
Sommersemester 2017
Prof. Dr. Anna Marciniak-Czochra, Jan-Erik Busse, Chris Kowall
Internetseite: http://www.biostruct.uni-hd.de/Analysis2.php
Abgabe: 7. Juli, 11:00 Uhr in den Zettelkasten (1. Stock Mathematikon)
Aufgabe 11.1
4 Punkte
Sei (M, d) ein metrischer Raum und T ⊂ M eine Teilmenge. Ein Punkt x ∈ M heißt
Randpunkt von T , falls für jedes ε > 0
T ∩ Kε (x) 6= ∅
(M \ T ) ∩ Kε (x) 6= ∅
sowie
gilt. Die Menge der Randpunkte von T heißt der Rand von T und wird mit ∂T bezeichnet.
Außerdem sei durch T ◦ := T \ ∂T das Innere bzw. der offene Kern von T definiert.
(a) Zeigen Sie T = T ∪ ∂T für den Abschluss T von T in M .
(b) Bestimmen Sie für n ∈ N im metrischen Raum (Rn , k · k∞ ) den Rand, das Innere
sowie den Abschluss für die Mengen
(i) T1 := {x ∈ Qn | kxk∞ < 1},
(ii) T2 := {x ∈ Rn | χ(x) < 1} für die Funktion
(
1 für x ∈ (−1, 1)n ,
n
χ : R → {0, 1}, x 7→
0 sonst.
Aufgabe 11.2
Seien M, N ⊂ Rn beschränkte Mengen.
4 Punkte
(a) Zeigen Sie für den äußeren bzw. inneren Jordan-Inhalt die folgenden Aussagen:
(i) M ⊂ N impliziert |M |a ≤ |N |a sowie |M |i ≤ |N |i .
(ii) |M |a = |M |a sowie |M |i = |M ◦ |i .
In manchen Fällen ist es sinnvoll eine spezielle Überdeckung zu verwenden. Dazu betrachten Sie die Punkte p ∈ Zn im kartesischen Koordinatensystem Rn als Eckpunkte von
Würfeln der Kantenlänge 1, sogenannte Einheitswürfel. Halbiert man sukzessive deren
Kantenlänge erhält man Würfel der Kantenlänge 2−k mit Eckpunkten 2−k p für gewisse
p ∈ Zn . Für ein k ∈ N0 bezeichnen wir die Menge aller solcher Würfel der k-ten Stufe mit
Wk und setzen als zugehörige Untersumme bzw. Obersumme von M
[
[
Mk :=
W
bzw.
M k :=
W.
W ∈Wk ,
W ⊂M
W ∈Wk ,
W ∩M 6=∅
(b) Beweisen Sie mit obiger Notation
lim |Mk | = |M |i
k→∞
bzw.
lim |M k | = |M |a .
k→∞
und folgern Sie die Identität |M |i + |∂M |a = |M |a .
Bitte wenden!
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30. Juni 2017
Aufgabe 11.3
Gegeben sei eine unendliche Menge X und
4 Punkte
A := {A ⊂ X | A ist endlich oder X \ A ist endlich}.
(a) Beweisen Sie, dass A eine Mengen-Algebra ist.
(b) Zeigen Sie, dass A keine σ-Algebra ist.
Aufgabe 11.4
Für n ∈ N ist durch
4 Punkte
x ∼ y :⇔ x − y ∈ Qn
eine Relation auf Rn gegeben.
(a) Machen Sie sich klar, dass ∼ eine Äquivalenzrelation darstellt.
Da zwei Äquivalenzklassen entweder identisch oder disjunkt sind, schreiben wir das ndimensionale Einheitsintervall [0, 1]n als Vereinigung disjunkter Äquivalenzklassen Ei (wobei I eine gewisse Indexmenge ist)
[
[0, 1]n =
Ei .
i∈I
Sei nun N eine Menge, die aus jeder der Äquivalenzklassen Ei genau ein Element enthalte
und (rk )k∈N eine Aufzählung aller rationalen Zahlen im Intervall [−1, 1]n .
(b) Zeigen Sie, dass die Mengen Nk := N + rk , k ∈ N, paarweise disjunkt sind und
[
[0, 1]n ⊂
Nk ⊂ [−1, 2]n
k∈N
erfüllen.
(c) Beweisen Sie, dass N ⊂ Rn nicht Lebesgue-messbar ist.
Bemerkung. Die Existenz der Menge N folgt aus dem sogenannten Auswahlaxiom.
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