9. FOLGEN

9. FOLGEN
1
In diesem Abschnitt betrachten wir ein paar unendliche Folgen
a1, a2, . . . von reellen (und komplexen) Zahlen. Man schreibt für
die Folge
(an)n≥1
oder auch kürzer
(an)
Dagegen bezeichnet an eigentlich nicht die Folge sondern das nte Glied der Folge, aber ab und zu ist man da in der Bezeichnung
etwas ungenau bzw. schlampig.
2
Folgen tauchen auf u.a. bei
1. Dezimalbruchdarstellungen von (rationalen oder irrationalen)
Zahlen, das sind Folgen von Dezimalbrüchen:
1/2
1/3
√
2
e
π
0
0
1
2
3
0,5
0,3
1,4
2,7
3,1
0,50
0,33
1,41
2,71
3,14
0,500
0,333
1,414
2,718
3,141
0,5000
0,3333
1,4142
2,7182
3,1415
oder von Dualbrüchen . . .
1
= 0, 01010101 . . .
3
3
2. Laufzeiten von Algorithmen:
an bezeichne die Länge der Laufzeit eines Algorithmus bei einer Eingabe der Länge n. Bei der Beurteilung des Algorithmus
kommt es weniger im Einzelnen auf die Größe von a1 oder a2 oder
. . . an (diese Größen ändern sich mit dem technischen Stand der
Hardware), sondern auf das Wachstumsverhalten der gesamten
Folge. Man fragt sich:
an = O(n) oder an = O(n ln n) (sehr gut!),
an = O(n2) (auch ganz gut),
Gilt
oder etwa nur
?
an = O(en) (Katastrophe!)
4
Für zwei Folgen (an) und (bn) schreiben wir:
an = O(bn)
für n → ∞
falls abnn beschränkt bleibt, falls es also eine Zahl c > 0 gibt, so
dass für alle n (möglicherweise bis auf endlich viele Ausnahmen,
die nicht stören) gilt:
|an| ≤ c|bn|
Insbesondere bedeutet
an = O(1) ,
dass (an) eine beschränkte Folge ist.
5
Beispiel: Harmonische Zahlen.
n
X
1
1
1
Hn = 1 + + · · · + =
2
n
k
k=1
1
1
also H1 = 1, H2 = 1 + 1
2 = 1, 5, H3 = 1 + 2 + 3 , . . .
Für die Folge (Hn) der harmonischen Zahlen gilt
Hn = O(ln n)
6
Genauer gilt
Hn ≤ 1 + ln n
1 + 1 + · · · + 1 ≤ ln n
2
3
n
1
x
1
2
3
4
5
7
1
1
1
1 + 2 + 2 + · · · + 2 = O(1)
2
3
n
Beispiel:
1
x2
1 + 1 + ··· + 1 ≤
22
32
n2
1
Zn
1
1
2
3
4
dx
1
=
1
−
n
x2
5
Euler:
∞
X
π2
1
=
2
6
n=1 n
8
Für zwei Folgen (an) und (bn) schreiben wir:
an = o(bn)
für n → ∞
wenn abnn gegen 0 geht, wenn also für jede Konstante c > 0 die
Ungleichung
|an| ≤ c|bn|
nur für höchstens endliche viele n verletzt ist.
9
Insbesondere bedeutet
an = o(1) ,
dass (an) eine gegen 0 konvergente Folge ist. Wir schreiben dann
auch
an → 0
oder
lim a = 0
n→∞ n
10
Beispiel: Harmonische Zahlen.
Es gibt eine Zahl γ > 0, so dass
Hn = ln n + γ + o(1)
γ heißt die Euler-Mascheroni Konstante.
Ihr Wert ist gleich 0, 57721 . . .
Beweis in Bildern:
11
1
x
1+1
H4 = 1 + 1
+
2
3
4
1
2
3
4
5
12
1
x
H4 und ln 5
1
2
3
4
5
13
H4 − ln 5
14
Hn−1 − ln n
···
Hn−1 − ln n konvergiert gegen eine Zahl γ zwischen 0, 5 und 1,
die Gesamtfläche der unendlich vielen Dreiecke.
15
Es folgt
Hn−1 = ln n + γ + o(1)
1 = o(1) auch
und wegen Hn − Hn−1 = n
Hn = ln n + γ + o(1)
16
Beispiel: Exponentialfunktion.
Es gilt für reelles x
x n
1+
= ex + o(1)
n
für n → ∞
Man schreibt auch
x n
= ex
lim 1 +
n→∞
n
x n
1+
→ ex
n
oder
17
Beweis: Es gilt
x )n = n ln(1 + x ) − ln 1 = x ·
ln(1 + n
n
1
1+
x
n
x ) − ln 1
ln(1 + n
x
n
Der Bruch geht für n → ∞ gegen 1,
da ln x an der Stelle 1
die Steigung 1 hat.
Also gilt
x )n = x + o(1)
ln(1 + n
Die Behauptung folgt durch Übergang zur e-Funktion.
18
Optional, als Übung im Rechnen mit komplexen Zahlen:
Es gilt auch für komplexes z
z n
1+
= ez + o(1)
n
für n → ∞
19
Der komplexe Fall sieht geometrisch so aus:
(1 + 2z )2
(1 + 8z )8
1+z
1 + 2z
1 + 8z
1
20
und schließlich
ez
1+z
21
Genauer gilt für z = x + iy
1 + z = 1 + x + iy
z
x + o( 1 )
1 + n = 1 + n
n
arg 1 + nz
y
1)
=n
+ o( n
x + iy
1+n
n
Also folgt
22
n
z
1 + → ex
n
z
→y
n arg 1 +
n
und
und damit
z n
→ ez
1+
n
23