4 Mengenlehre

14
4
Mengenlehre
4.1 Naive Mengenlehre
Mengenbegriff von Georg Cantor (1845–1918) Ende des
19. Jahrhunderts: Menge ist Zusammenfassung von
unterscheidbaren Objekten der Anschauung oder des
Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte nennt man
Elemente.
(2) Beschreiben (Cantor): Definiere Menge über Eigenschaften ihrer Elemente ( geht auch für unendliche
Mengen ). Etwa: Die Menge der Primzahlen ist .
P WD f p 2 N jp > 1 ^
8m 2 N W .m j p =).m D 1 _ m D p// g:
Beachte: Das erste der beiden Symbole „j “ bedeutet „für
die gilt“. Oft Doppelpunkt anstelle j, also P WD f p 2
N W : : : g. Sprechweise: P ist definiert als die Menge aller
Zahlen p , für die gilt : : : .
Beispiel 4.1.3.
Beispiel 4.1.1.
Menge der Studierenden im Hörsaal,
Menge der natürlichen Zahlen,
leere Menge.
Mengenlehre war umstritten.
Beispiel (Bertrand Russell, 1902). Betrachte Mengen R
aller Mengen M , für die M nicht Element von M ist.
Paradoxon: Ist R Element der Menge R?
Falls ja, so kann R ( nach Definition von R ) kein Element von R sein, Widerspruch.
Falls nein, so also R kein Element von R, damit ( wieder nach Definition von R ) ist R ein Element von R,
Widerspruch. M
Reihenfolge der Aufzählung nicht wichtig: f 0; 5; 2; 9 g
ist gleich f 9; 0; 2; 5 g.
Mengen werden meist mit Großbuchstaben bezeichnet.
Beachte oben: Doppelpunkt steht auf der Seite des
Gleichheitszeichens, auf der das zu definierende Symbol steht, z. B. f 0; 2; 5; 9 g DW M oder M WD f 0; 2; 5; 9 g.
Steht die Menge links vom Element, so dreht man 2
um. Beispiel: R 3 . Sprechweise: R enthält .
Ist ein Objekt nicht Element einer Menge, so streicht
man 2 durch: 62. Beispiel: 12 62 M .
Manchmal „2“ in Verbindung mit anderen Symbolen. Beispiel: 0 < x 2 R. Ist aber eher unüblich.
Für mehrere Elemente einer Menge schreibt man abkürzend etwa a; b; c 2 M für a 2 M; b 2 M; c 2 M .
Beachte:
Eigenschaft, Element einer Menge zu sein, wird mit 2
gekennzeichnet, hier 0 2 M; 2 2 M; : : :, sprich „0 in M “
oder „2 Element M “.
Es gilt 2 2 f 2; 4; 7; 9 g.
Definition 4.1.4. Zwei Mengen A und B gelten als
gleich, wenn sie die gleichen Elemente haben, in Symbolen: A D B gdw. 8x W .x 2 A”x 2 B/.
Beschreibung von Mengen auf zwei Arten:
(1) Aufzählen: Angabe aller Elemente einer ( endlichen )
Menge. Dabei heißt Menge endlich, falls es n 2 N gibt,
so dass M genau n Elemente enthält. Etwa: M WD
f 0; 2; 5; 9 g ist Menge mit vier Elementen.
Eine Menge ist Ansammlung verschiedener Objekte.
Es ist zulässig, Elemente wiederholt aufzuführen.
Aber z. B. f 1; 2 g D f 1; 2; 1 g. Und f a; b; c g bedeutet
im Fall a D 1; b D 2; c D 2 die Menge f 1; 2 g.
4.1.1 Teilmengen
Definition 4.1.6. Eine Menge B heißt Teilmenge der
Menge A, wenn B nur Elemente enthält, die auch in
A enthalten sind, d. h.,
8x W x 2 B =)x 2 A
oder 8x 2 B W x 2 A. Notation (alle äquivalent):
B A; A B:
Es heißt dann A Obermenge von B .