Aufgabenblatt 7: Mengenlehre, Logik

Vorkurs
HTW Dresden
September 2017
Aufgabenblatt 7: Mengenlehre, Logik
Eine der wichtigsten Grundfertigkeiten der Hochschulmathematik ist der Umgang mit der
Mengensprache und Erfahrung in den Mengendarstellungen. Eine Menge ist dabei die
Zusammenfassung mehrerer Objekte zu einem Ganzen (wie eine Schublade, in die Dinge gepackt
werden). Haben wir mehrere Mengen, können wir zudem mit ihnen rechnen, z.B. Vereinigungen
oder Schnittmengen bestimmen.
Im Weiteren wollen wir uns auf diesem Übungsblatt mit der Logik auseinandersetzen.
Aufgabe 1: Mengen und ihre Darstellungsformen
a) Geben Sie folgende Mengen in aufzählender Schreibweise an:
{
|
{
|
{
|
{
|
}
{
}
{
|
};
|
}
}
{
|
}
}
b) Geben Sie folgende Mengen in definierender Schreibweise an:
{
}
{
{
}
}
{
{
}
}
{
}
c) Schreiben Sie die gegebenen Intervalle auf den reellen Zahlen in die definierende
Mengenschreibweise um: [ ] ; (
]; [
;
Aufgabe 2: Mengenoperationen
{
a) Berechnen Sie für
̅;
;
;
},
̅
{
}
{
̅; ̅
},
{
} auf
{
}:
; ̅̅̅̅̅̅̅
b) Es seien folgende Intervalle auf den reellen Zahlen gegeben:
{
};
|
];
[
]
Berechnen Sie damit folgende Mengen und stellen Sie diese grafisch auf einem Zahlenstrahl dar:
;
; ̅
;̅
Blatt 7 Mengenlehre, Logik
© Matthias Lange (www.lern-kompass.de)
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Aufgabe 3: Mengenrelationen
Welche der folgenden Mengen stehen in Teilmengenbeziehung zueinander?
{
{
};
|
{
};
{
{
;
};
}
|
|
}
Aufgabe 4: VENN-Diagramme
a) Beschreiben Sie die schraffierten Flächen in folgenden VENN-Diagramme durch
Mengenoperationen:
b) A, B und C seien gegeben mit
Venn-Diagrammen dar:
̅
;
(s. oben). Stellen Sie folgende Ausdrücke mit
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ;
(
)
c)* Überprüfen Sie die Gültigkeit folgender Mengengleichungen mit Venn-Diagrammen:
1)
2)
Aufgabe 5: Kartesische Produkte und Bereiche des
a) Skizzieren Sie die durch folgende kartesischen Produkte gegebenen Mengen in ein
[ ] [ ]
[ ] {
}.
ebenes Koordinatensystem:
b) Listen Sie alle Elemente von {
c) Skizzieren Sie die Bereiche des
{
{
|
|
};
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}
{
} auf.
, die durch folgende Mengen definiert werden:
{
};
|
}
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Aufgabe 6: Logik und Wahrheitstabellen
a) Überprüfen Sie mithilfe von Wahrheitstabellen, welche Aussagen wahr sind, wenn p und
q auch wahr sind:
1)
̅
2) ̅
3)
̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
4)
5) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
6)
7) ̅ ̅
̅
b) Zeigen Sie mithilfe von Wahrheitstabellen:
̅
1)
2) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅
̅
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Lösungen: (Angaben ohne Gewähr, bei Unklarheit bitte nachfragen)
{
1. a)
};
{
};
{
|
b)
{
c) [
[
|
]
{
{
{
|
{
};
{ }; ̅
̅
}
{
]
{
|
{
;
{
};
{ |
{
}
}
|
}
|
{
{
]; ̅
};
}
;̅
[
(Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge;
4. a)
}
};
|
} ; ̅̅̅̅̅̅̅
[
} ;
|
{
{ };
{
];
b)
3.
}
|
}; (
};
|
|
};
}
};
};
{
{
2. a) ̅
̅
{
;
;
;
;
; ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
;
b)
c)* 1) stimmt nicht, 2) stimmt. Begründung:
;
5. a)
c) A,B
b) {
}
{
}
c) C
{
}
6.a) Aussagen 3) und 6), denn
̅
w
w
̅
f
f
1)
f
2)
f
3)
w
4)
f
5)
f
6)
w
7)
f
b) Die Äquivalenz der Aussagen in 1) und 2) gilt, denn
f
w
f
w
f
f
w
w
̅
w
f
w
f
̅
w
w
f
f
w
f
w
w
w
f
w
w
a)
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̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅
gleich
w
f
f
f
̅
̅
w
f
f
f
b) gleich
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