Tutorium 1 - Logik, Mengen und Abbildungen

Tutorium 1 - Logik, Mengen und Abbildungen
1. Logik
•
Eine
Aussage ist ein (sprachlicher) Satz, dem eindeutig einer der Werte wahr(w) oder falsch(f )
zugeordnet werden kann.
•
•
Aussagen lassen sich wie folgt verknüpfen:
Die
Aussage A
w
w
f
f
Aussage B
w
f
w
f
¬A
A∨B
A∧B
A⇒B
A⇔B
f
f
w
w
w
w
w
f
Disjunktion (oder)
w
f
f
f
Konjunktion (und)
w
f
w
w
Implikation (wenn, dann)
w
f
f
w
Äquivalenz (genau dann wenn)
Negation (Nicht)
DeMorgan-schen Regeln gelten: ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B und ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
2. Mengen
•
Eine
X
•
•
•
∈ X)
oder nicht (x
6∈ X ).
Allquantor ∀x ∈ X... entspricht Für alle x aus X gilt...
Existenzquantor ∃x ∈ X entspricht Es existiert mindestens ein x in X ...
Es gilt
• A
•
Menge X ist eine Objektsammlung, so dass für jedes x entschieden werden kann, ob es zu
gehört (x
wird
(¬∀x ∈ X...) = (∃x ∈ X¬...)
und
(¬∀x ∈ X...) = (∃x ∈ X¬...)
Teilmenge von B genannt wenn gilt x ∈ A ⇒ x ∈ B , schreibe A ⊆ B
Man kann Mengen wie folgt miteinander verknüpfen:
Durchschnitt
Vereinigung
Dierenzmenge
Karthesisches Produkt
•
Ist
•
Die
A
Teilmenge von
M,
A∩B
A∪B
A\B
A×B
so deniert man das
:=
:=
:=
:=
{x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
{x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
{x : x ∈ A ∧ x 6∈ B}
{(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
Komplement von M als Ac := M \ A
Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen: P(A) := {X : X ⊆ A}
3. Abbildungen
•
Eine
Abbildung
b∈B
•
Die Abbildung
Sei nun
•
•
f :A⇒B
A nach B ist eine Untermenge f ∈ A × B , so
(a, b) ∈ f . Für dieses b schreibt man dann f (a)
von
existiert mit
f = {(x, x) : x ∈ X}
eine Abbildung von
A
von
X
nach
B
nach
und
X
nennt man
Identität (idX )
M ⊆ A, N ⊆ B
zwei Mengen.
Bild von M ist deniert als f (M ) := {f (x)|x ∈ M }
−1
Das Urbild von N ist deniert als f
(N ) := {x ∈ A|f (x) ∈ N }
Das
dass für alle
a∈A
genau ein