Aufgabe 1 Sei X

Lineare Algebra, WS 06/07
Übungsblatt 1
Abgabetermin: Bis Freitag 03.11., 14.00 Uhr (Briefkasten oder e-Mail)
Aufgabe 1
Sei X eine Menge, die Potenzmenge von X ist die Menge
P(X) := {A ⊂ X Teilmenge }.
• Beweise, dass aus X ⊂ Y folgt, dass P(X) ⊂ P(Y ).
• Was ist die Potenzmenge von X := {1, 2, 3, 4}?
• Zeige, dass für eine endliche Menge X
|P(X)| = 2|X|
ist.
Aufgabe 2
N:
Konstruiere eine Bijektion zwischen jeder der folgenden Mengen und
1. Z;
2. {x ∈ Z|x < 0};
3. {n ∈ N|n ≥ 106 };
4. Q3 .
Aufgabe 3 Seien D, E Mengen und sei f : D −→ E eine Abbildung. Das Urbild
einer Teilmenge A ⊂ E unter f ist definiert als
f −1 (A) := {d ∈ D|f (d) ∈ A}.
Seien A, B ⊂ E Teilmengen. Welche Beziehung besteht zwischen den folgenden
Mengen:
f −1 (A), f −1 (B), f −1 (A ∪ B), f −1 (A ∩ B).
Aufgabe 4
1. Wir betrachten die folgenden Abbildungen von Z nach Z:
• f (x) = x3 ;
• g(x) = x − 3;
• h(x) = 3x + 1;
• i(x) = x2 − 1.
Welche davon sind injektiv, welche surjektiv und welche bijektiv?
2. Eine Abbildung f : X −→ Y heisst linksinvertierbar mit Linksinversem
l : Y −→ X, falls
l ◦ f = idX .
Beweise, dass eine Abbildung genau dann injektiv ist, wenn sie linksinvertierbar ist.
Aufgabe 5 Es sei (G = {e, a, b, c}, ∗) eine Gruppe mit neutralem Element e. Finde
alle möglichen Gruppentafeln und verifiziere die Gruppenaxiome.
Aufgabe 6
Berechne:
Es seien u = 3 + 2i, v = 5 − 7i und w = 2 − 5i komplexe Zahlen.
a. u + v;
b.
w
;
v
c.
w4.