Mathematik Vorkurs - homepage.ruhr-uni

Hochschule Bochum
stud. BSc. Mathematik cand.MSc. Informatik Dipl.-Ing. Darius Malysiak
d [email protected]
15.09.2009
Mathematik Vorkurs
Übungsblatt 2
Mengenlehre, Beweise, Zahlenmengen und Abbildungen
Aufgabe 1) Gegeben seien folgende Mengen M1 = {3, 7}, M2 = {49, 36 , 1}, W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bestimmen Sie folgende Schnittmengen
1. M1 ∩ M2
2. M1 ∩ W
3. W ∩ N
4. M2 ∩ W
5. M1 ∩ N
6. M1 ∩ M1
7. N ∩ N
8. {} ∩ N
9. {} ∩ {}
Aufgabe 2) Gegeben seien folgende Mengen M1 = {3, 7}, M2 = {49, 63 , 1}, W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bestimmen Sie folgende Vereinigungsmengen
1. M1 ∪ M2
2. M1 ∪ W
3. W ∪ N
4. M2 ∪ W
5. M1 ∪ N
6. M1 ∪ M1
7. N ∪ N
8. {} ∪ N
9. {} ∪ {}
Aufgabe 3) Gegeben seien folgende Mengen M1 = {3, 7}, M2 = {49, 63 , 1}, W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bestimmen Sie folgende Differenzmengen
1. M1 \M2
2. M1 \W
3. W \N
4. M2 \W
5. M1 \N
6. M1 \M1
7. N\N
8. {}\N
9. {}\{}
Aufgabe 4) Gegeben seien folgende Mengen M1 = {3, 7}, M2 = {49, 36 , 1}, W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bestimmen Sie
1. M1 × M2
2. M2 × M1
3. M1 × W
4. P(M1 )
5. P(M2 )
Aufgabe 5) Welche Aussagen sind wahr bzw. falsch?
1. 1 ∈ N
√
4. 2 ∈ Q
2. 0 ∈
/N
√
5. 7 ∈ R
3. −1 ∈ Z
7. 0.5 ∈ Q
8. 0.9 ∈ N
9. N ∪ {x : x2 + x + 4 =
0 ∨ x2 = 0} = {0}
10. Q\Z = N
11. Z\N = N
6.
2
∈
/R
3
12. Q\R = {0}
1
13. C\R = {}
14. C\Q = N
15. R\C = {}
Aufgabe 6) Es sei M eine nicht-leere Menge und A, B, C Teilmengen von M . Zeigen Sie
a) (A ∩ B) ∪ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
b) (A\B) ∪ (B\A) = (A ∪ B)\(A ∩ B)
Aufgabe 7) Stellen Sie folgende Mengen grafisch dar
1. [0, 2]
2. (0, 2) ∩ N
3. (1, 3] ∪ [7, 7]
4. (1, π]
5. A × B mit A = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2},B = {y ∈ R : 0 < y ≤ 2}
Aufgabe 8) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen z, ferner die Polarkoordinaten. Die Verwendung eines Taschenrechners ist für diese Aufgabe nicht erlaubt!!
1. z =
1
1−i
3. z =
5i − 1
8i + 1
2i − 1
1+i
n
1+i
4. z =
, n∈N
1−i
2. z =
Aufgabe 9) Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichungen
1. z(1 + i) + z(i − 1) = i
2. z 2 + 2iz − 1 = 0
3. z 3 + z = 0
4. x2 + 2x + 10 = 0
Aufgabe 10)
a) Beweisen oder widerlegen Sie die Aussagen:
Für alle a, b ∈ R gilt: (ab > 1 und a > 1) ⇒ b > 1
Für alle a, x ∈ R gilt: x(x − 2a2 ) > 0 ⇔ |x − a2 | > a2
b) Stellen Sie folgende Mengen graphisch dar:
A = {(x, y) ∈ R : A = |x + 2| + |y − 1| ≤ 4}
B = {(x, y) ∈ R : A = |x + 2|2 + |y − 1|2 ≤ 4}
Aufgabe 11) Zeigen Sie mit Hilfer der vollständigen Induktion
a) Sei n ∈ N,
n
X
b) Sei n ∈ N,
n
X
k2 =
k=1
k=1
3
k =
n(n + 1)(2n + 1)
6
n(n + 1)
2
2
2
c) "kleiner Gauß"
Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist gleich
Aufgabe 12) Sei K ein Körper und für y 6= 0 sei
b, d ∈ K\{0} gilt:
a)
1
n(n + 1).
2
x
:= x · y −1 . Zeigen Sie: Für alle a, c ∈ K und alle
y
a
c
= ⇔ ad = bc
b
d
a
c
ad + bc
+ =
b
d
bd
a c ac
·
=
c)
b
d
bd
b)
d) sei nun zusätzlich c 6= 0:
a c −1
ad
·
=
b
d
bc
Aufgabe 13) Zeigen Sie, dass C ein Körper ist!
Aufgabe 14) Seien M = {Ê,Å,Ç,∇},N = {à,ê,â,ä}. Betrachten Sie die Zuordnung:
f:
Ê
Å
∇
Ç
∇
7→
7
→
7→
7→
7
→
à
â
à
ê
ä
a) Handelt es sich bei f um eine Abb. f : M → N ? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum?
b) Handelt es sich um eine bijektive Abb., falls nein, ist diese Abb. wenigstens surjektiv oder injektiv.
c) Welche Änderung an N würde garantieren, dass diese Abb. niemals surjektiv sein kann.
d) Ist die Abb. f : R → {x ∈ R : x ≥ 0}, f : x 7→ x2 surjektiv, injektiv oder bijektiv?
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