Universelle Algebra (SS 2017)

Prof. Dr. Udo Hebisch, M. Sc. Patrick Mehlitz
Institut für Diskrete Mathematik und Algebra
Universelle Algebra (SS 2017)
Übung 5
- Formale Begriffsanalyse 1. Zu betrachten sind die p.o. Mengen (Q+ , ≤) und (Q− , ≥) der positiven und negativen rationalen Zahlen.
Gegeben seien zwei Abbildungen ϕ : Q+ → Q− und ψ : Q− → Q+ gemäß:
∀x ∈ Q+ ∀x0 ∈ Q− :
ϕ(x) = −
1
x
ψ(x0 ) = −
1
.
x0
Verifizieren Sie, dass es sich bei (ϕ, ψ) um eine Galois-Korrespondenz zwischen diesen p.o. Mengen
handelt.
2. Es sei (ϕ, ψ) eine Galois-Korrespondenz zwischen den p.o. Mengen (X, ≤) und (X 0 , ≤0 ). Beweisen Sie
die folgenden Aussagen.
(a) Sind ϕ und ψ beide injektiv oder beide surjektiv, so sind sie bijektiv.
(b) Die partiell geordneten Mengen (ϕ(X), ≤0 ) und (ψ(X 0 ), ≤) (die partiellen Ordnungen sind als
eingeschränkt aufzufassen) sind antiordnungsisomorph.
3. Es sei G die Menge der folgend gegebenen Gruppoide der Ordnung drei während M die Eigenschaften
mit Einselement, linkskürzbar, kommutativ und idempotent umfassen möge. Genau dann gelte Gκm,
wenn G ∈ G die Eigenschaft m ∈ M besitzt.
·
a
b
c
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
·
a
b
c
a
a
b
c
b
b
b
c
c
c
c
c
·
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
·
a
b
c
a
c
c
c
b
c
c
c
c
c
c
c
·
a
b
c
a
a
b
b
b
c
b
b
c
c
c
c
·
a
b
c
a
a
b
c
b
b
a
b
c
c
b
a
Bestimmen Sie den Begriffsverband (B(K), v) zum Kontext K = (G, M, κ). Untersuchen Sie, ob
(B(K), v) ein distributiver Verband ist. Sind die durch diesen Begriffsverband induzierten algebraischen Aussagen allgemeingültig?
4. Betrachtet sei X = {a, b, c, d}. Auf X wird gemäß
% := iX ∪ {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}
eine partielle Ordungsrelation definiert.
(a) Begründen Sie, dass die partiell geordnete Menge (X, %) kein Verband ist.
(b) Betten Sie (X, %) durch Techniken der formalen Begriffsanalyse in einen Verband ein.
[email protected]