1. Übung

Übungen zu Analysis 1, 1. Übung
Man verwende die aus der Linearen Algebra bekannte Logik, um die unten stehenden Aufgaben zu lösen.
1) Seien A, B, C ⊆ M Mengen.
a) Berechnen Sie A ∪ ∅, (A ∪ B)c ∪ (A \ B), ∅c , A × ∅.
b) Zeigen Sie, dass A ⊆ B genau dann, wenn A ∩ B = A.
c) Was folgt aus A \ B = A ∪ B für die Menge B?
d) Zeigen Sie, dass A ⊆ B genau dann, wenn A ∩ B = A.
2) Seien Xi , i ∈ I und Yi , i ∈ I Familien von Mengen.
a) Zeigen Sie die de Morganschen Regeln
[ c \
\ c [
Xic ,
Xic .
Xi =
Xi =
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
b) Beweisen Sie
[
c \ \ (Xi ∪ Yi ) =
Yic ,
Xic ∩
i∈I
sowie
[
i∈I
i∈I
i∈I
[ [
(Xi ∩ Y j ).
Yi =
Xi ∩
i∈I
(i, j)∈I×I
3) Sei M eine Menge und sei A ⊆ P(M). Weiters sei B die Menge aller B ⊆ M,
sodass es eine Familie (Ai )i∈I gibt mit Ai ∈ A, i ∈ I und B = ∪i∈I Ai . Man zeige:
Ist (Bi )i∈I eine Familie von Mengen aus B, so folgt ∪i∈I Bi ∈ B.
4)
a) Man betrachte die Funktion f1 : X → Y als Teilmenge von X × Y. Ist f2
eine weitere Funktion von X nach Y, sodass f1 ⊆ f2 als Teilmengen von
X × Y, so zeige man, dass f1 = f2 .
b) Weiters sei X = {a, b, c}. Sei f : P(X) → P(X) eine Funktion, wobei
f (A) = A ∪ {a}. Stellen Sie diese Funktion als Teilmenge von P(X) × P(X),
also als Menge von Paaren dar.
5) Sei N die Menge der natürlichen Zahlen, Z die Menge der ganzen Zahlen und Q
die Menge der rationalen Zahlen.
Mit den aus der Schule bekannten Eigenschaften betrachte man f : Z × N →
Q, (p, n) 7→ np . Ist diese Funktion injektiv, surjektiv, bijektiv? Falls sie nicht
bijektiv ist: Wie kann man den Definitionsbereich einschränken, sodass man eine
bijektive Funktion erhält?
6) Seien f : X → Y und g : Y → Z Funktionen. Zeigen Sie:
a) Sind f und g beide injektiv (surjektiv), so ist auch g ◦ f injektiv (surjektiv).
b) Ist g ◦ f bijektiv, so muss f injektiv und g surjektiv sein.
7) Sei f : X → Y eine Funktion und seien C, D ⊆ Y. Beweisen Sie:
a) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) .
b) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D).
c) Gilt C ⊆ D ⊆ Y, so folgt f −1 (C) ⊆ f −1 (D).
8) Sei f : X → Y eine Funktion und seien A, B ⊆ X. Zeigen Sie:
a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
b) Gilt A ⊆ B ⊆ X, so folgt f (A) ⊆ f (B).
Gilt auch f (A∩ B) = f (A) ∩ f (B)? Wenn nicht, dann gebe man ein Gegenbeispiel
an.
9) Sei f : X → Y eine Funktion und A, B ⊆ X. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen
äquivalent sind.
i) f ist injektiv.
ii) f −1 ( f (A)) = A.
iii) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
10) Sei M = {1, 2, . . . , 10}, N = {2, . . . , 9} und f : N → M, n 7→ n + 1. Wieviele
Fortsetzungen von f zu einer Funktion g : M → M gibt es? Weiters gebe man
alle Fortsetzungen von f zu einer Funktion g : M → M an, sodass g surjektiv
ist.