{ G := {f : R → R | x ↦→ ax + b, a ∈ R \ {0}, b ∈ R} (a ∗ b)−1 = a−1

Prof. Dr. Stefan Kebekus
Dr. Andreas Höring
WS 2010/11
Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I
2. Blatt
Abgabetermin: Do, 04.11.2010, 8 Uhr
Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen. Falsche Aussagen widerlegt man
am Besten mit einem Gegenbeispiel.
Aufgabe 2-1 (4 Punkte):
Es seien A, B, C Mengen und g : A → B und f : B → C Abbildungen. Beweisen oder
widerlegen Sie:
a)
b)
c)
d)
Falls
Falls
Falls
Falls
f
f
f
f
◦ g injektiv ist, so ist f injektiv.
◦ g injektiv ist, so ist g injektiv.
◦ g surjektiv ist, so ist f surjektiv.
◦ g surjektiv ist, so ist g surjektiv.
Aufgabe 2-2 (4 Punkte)
Für x, y ∈ Z definieren wir
R := {( x, y) ∈ Z × Z | x2 − y2 ist ohne Rest durch 5 teilbar}.
Zeigen Sie dass dies eine Äquivalenzrelation auf Z definiert.
∗ -Aufgabe
(gibt 2 Sonderpunkte) Zeigen Sie, dass
{ x ∈ Z | x ∼ 1} = { x ∈ Z | x ≡ 1 mod 5 oder x ≡ 4 mod 5}.
Aufgabe 2-3 (4 Punkte)
Sei R die aus der Schule bekannte Menge der reellen Zahlen. Eine Abbildung der Form
x 7→ ax + b wobei a und b reelle Zahlen sind heißt affin. Sei nun
G := { f : R → R | x 7→ ax + b, a ∈ R \ {0}, b ∈ R}
die Menge der affinen, nicht konstanten Abbildungen von R nach R. Wir bezeichnen mit
◦ die Verknüpfung von Abbildungen. Zeigen Sie, dass ( G, ◦) eine Gruppe ist.
Aufgabe 2-4 (4 Punkte)
a) Sei ( G, ∗) eine Gruppe. Sei a ∈ G so dass gilt a2 = e. Zeigen Sie dass a−1 = a.
b) Sei ( G, ∗) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
i) G ist abelsch.
ii) Für alle a, b ∈ G gilt: ( a ∗ b)−1 = a−1 ∗ b−1 .
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