lineare algebra i 2. ¨ubungsblatt

Universität Bielefeld
WS 2016/17
LINEARE ALGEBRA I
2. ÜBUNGSBLATT
HENNING KRAUSE, PHILIPP LAMPE
Aufgabe 1. Seien A, B und C beliebige Mengen seien f : A → B and g : B → C Abbildungen. Beweisen Sie
folgende Aussagen:
(a) Wenn g ◦ f injektiv ist, dann ist f injektiv.
(b) Wenn g ◦ f surjektiv ist, dann ist g surjektiv.
Aufgabe 2. Seien A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} und B = {1, 2, 3}. Bestimmen Sie:
(a) die Anzahl aller Abbildungen von A nach B.
(b) die Anzahl der injektiven Abbildungen von B nach A.
(c) die Anzahl der surjektiven Abbildungen von A nach B.
Aufgabe 3.
(a) Für welche reellen Zahlen a, b ist die Abbildung f : R → R, definiert durch f ( x ) = ax + b für alle x,
injektiv? Wann ist sie surjektiv?
(b) Für welche ganzen Zahlen a, b ist die Abbildung f : Z → Z, definiert durch f ( x ) = ax + b für alle
x, injektiv? Wann ist sie surjektiv?
Aufgabe 4. Die Folge ( Fn )n∈N der Fibonaccizahlen ist rekursiv definiert durch ihre Startwerte F1 = 1, F2 = 1
und die Vorschrift Fn+1 = Fn + Fn−1 für n > 1. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für jede
natürliche Zahl n die folgenden Aussagen gelten:
n
(a)
(b) Fn2+1 = Fn Fn+2 + (−1)n .
∑ Fi2 = Fn Fn+1,
i =1
Abgabe am Freitag, 4. November 2016, von 11:00 bis 12:00 Uhr in Raum V4-200.
1