Übungsblatt 5 - math.uni

Dr. Tim Haga
Mathematische Grundlagen I
WS 2016/17
Übungsblatt 5
Präsenzübungen
Möchte man eine Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 beweisen, so nutzt
man die Methode der vollständigen Induktion:
1. Man zeigt: A(n0 ) ist wahr, dass heißt, die Aussage gilt für die Zahl n0 . Oft ist
n0 = 0 oder n0 = 1, dies muss aber nicht sein.
2. Man zeigt: ∀n ∈ N, n ≥ n0 : A(n) ⇒ A(n + 1), dass heißt, unter der Voraussetzung, dass A(n) wahr ist, zeigt man, dass A(n + 1) wahr ist.
Den ersten Schritt nennt man Induktionsanfang. Im zweiten Schritt setzt man A(n) voraus
und nennt dies Induktionsvoraussetzung. Den Schritt von A(n) nach A(n + 1) nennt man
Induktionsschritt oder Induktionsschluss.
Eine Zahl a ∈ Z heißt Teiler von b ∈ Z (man sagt auch a teilt b oder b ist durch a teilbar
und schreibt a | b), falls es eine Zahl c ∈ Z gibt, so dass ac = b gilt.
P10. Untersuchen Sie die Abbildungen
f i : Xi −→ Yi
x 7−→ x2
auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität:
a) X1 = Y1 = R;
b) X2 = Y2 = { x ∈ R | x ≥ 0};
c) X3 = Y3 = N;
d) X4 = N, Y4 = {n2 | n ∈ N}.
Geben Sie in allen Fällen die Urbildmenge f −1 (5) an.
P11. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:
a) ∀n ∈ N : 5n + 7 ist durch 4 teilbar.
b) ∀n ∈ N :
n
∑ (2i − 1) = n2
i =1
Hausübungen
H11. Seien X, Y, Z Mengen, f : X −→ Y und g : Y −→ Z Abbildungen. Zeigen Sie: Ist f
surjektiv und g ◦ f injektiv, so ist auch g injektiv.
(5 Punkte)
Bitte wenden!
H12. Geben Sie eine Menge X an, so dass
f : X −→ R
x 7−→ x2 − 1
injektiv wird. Begründen Sie ihre Antwort.
(5 Punkte)
H13. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:
a) Für alle natürlichen Zahlen n gilt: n3 − n ist durch 6 teilbar.
(5 Punkte)
b) Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
∑ 2i = 2n+1 − 1.
i =0
(5 Punkte)
Abgabe der Hausübungen am Dienstag, 22.11.2015 im Raum NW1 H1 H0020 vor Beginn der Vorlesung.
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Weitere Aufgaben
Diese Aufgaben dienen zur Selbstkontrolle und müssen nicht abgegeben werden.
1. Wann heißen Abbildungen injektiv, surjektiv, bijektiv?
2. Welche Abbildungen sind Äquivalenzrelationen?
3. Warum kann die Frage ”Ist die Abbildung f ( x ) = x2 injektiv?” nicht sinnvoll
beanwtortet werden?
4. Was ist das Bild einer Menge unter einer Abbildung?
5. Was ist das Urbild einer Menge unter einer Abbildung?
6. Was ist der Graph einer Abbildung?
7. Warum sind N und Z gleichmächtig?
8. Sind Q und N gleichmächtig?
9. Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit man zwei Abbildungen f und
g verknüpfen kann?
10. Wann kann man sowohl f ◦ g als auch g ◦ f bilden?
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