Aufgabe 1 Zeigen Sie per vollständiger Induktion: Sei n eine

Universität
Stuttgart
Aufgabe 1
Vortragsübung
Mathematik I für inf, swt, msv
Jonathan Kausch
Blatt 3
WS 2014/2015
6.11.14
Zeigen Sie per vollständiger Induktion:
Sei n eine natürliche Zahl. Man nehme alle nichtleeren Teilmengen
der Menge {1, . . . , n} der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Für jede
dieser Teilmengen bilde man das Produkt aller Elemente und nehme
den Kehrwert. Summiert man alle diese Kehrwerte auf, dann erhält
man n.
Beispiel: Für n = 3 würde das also so funktionieren: Die nichtleeren
Teilmengen sind {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Die zugehörigen Produkte sind (in dieser Reihenfolge): 1, 2, 3, 2, 3, 6, 6, und die
Kehrwerte 11 , 12 , 13 , 12 , 13 , 16 , 61 . Aufsummiert erhält man
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + =3
1 2 3 2 3 6 6
Aufgabe 2
Zeigen Sie per vollständiger Induktion:
n
X
km ≤
k=0
(n + 1)m+1
m+1
für m ≥ 1, n ≥ 0.
Aufgabe 3 Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen injektiv
bzw. surjektiv sind. Geben Sie eine Umkehrfunktion an, falls diese
existiert.
(a) f : R\{3} → R\{2} : x 7→
2x−1
x−3
(b) M Menge, f : P(M ) → P(M ) : N 7→ M \N , wobei N ⊆ M ist.
(c) f : Z × N → Q : (z, n) 7→
z
n
Aufgabe 4 Seien f, g : A → B Abbildungen. h : A → B × B sei die
Abbildung definiert durch h(a) = (f (a), g(a)). Zeigen Sie oder finden
Sie ein Gegenbeispiel:
(a) Sind f und g injektiv, dann ist h injektiv.
(b) Sind f und g surjektiv, dann ist h surjektiv.