Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebra I

Universität Regensburg, Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Uwe Jannsen
Franziska Schneider
SS 2011
Blatt 2
Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra I
Abgabe: Do, 19.05.2011 bis 10.00 Uhr
Aufgabe 1. Seien f : X −→ Y und g : Y −→ Z Abbildungen. Man zeige:
(i) g ◦ f ist injektiv =⇒ f ist injektiv.
(ii) g ◦ f ist surjektiv =⇒ g ist surjektiv.
(iii) f , g sind bijektiv =⇒ g ◦ f ist bijektiv und es gilt (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Man gebe ein Beispiel an, in dem g ◦ f bijektiv ist aber f nicht surjektiv und g nicht injektiv ist.
Aufgabe 2. Zeigen Sie die Identitäten
(i)
n
P
k3 =
k=1
(ii)
n
P
n2 (n+1)2
,
4
2k k = 2n+1 n − 2n+1 + 2
k=1
mit vollständiger Induktion.
Aufgabe 3. Zeigen Sie folgende Aussage mit Hilfe vollständiger Induktion:
Seien x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn > 0 positive reelle Zahlen mit x1 · x2 · · · · · xn−1 · xn = 1. Dann gilt
x1 + x2 + · · · + xn−1 + xn ≥ n.
Aufgabe 4.
(i) Zeigen Sie, dass jede Gruppe mit höchstens 3 Elementen abelsch ist.
(ii) Geben Sie die Multiplikationstafel der symmetrischen Gruppe S3 an und zeigen Sie, dass Sn für
n ≥ 3 nicht abelsch ist.
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