Mathematik I für inf, swt Vortragsübungen 3 Die Vortragsübungen

Mathematik I
für inf, swt
Vortragsübungen 3
Universität Stuttgart
Prof. Dr. E. Teufel
Dr. B. Ackermann
Die Vortragsübungen werden am 31.10.08 besprochen.
Aufgabe V9 Bestimmen Sie, ob die folgenden Funktionen injektiv, surjektiv
bzw. bijektiv sind und begründen Sie ihr Ergebnis:
(a) f : R+ → R+ : x 7→ x2
(b) f : Z → Z : n 7→ 2n + 1
(c) f : Q → Z :
p
q
7→ pq
Aufgabe V10 Es seien A, B und C Mengen und f : A → B sowie
g : B → C Abbildungen. Zeigen Sie, dass gilt:
Wenn g ◦ f bijektiv ist, dann ist g surjektiv und f injektiv.
Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass die umgekehrte Aussage falsch ist.
Aufgabe V11 Überprüfen Sie, ob die folgenden Relationen Äquivalenzbzw. Ordnungsrelationen sind.
(a) a, b ∈ R, aRb ⇐⇒ a kleiner als b.
(b) a, b, n ∈ Z, aRb ⇐⇒ n teilt b − a.
Aufgabe V12 Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass die Summe
der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, . . . , 2n + 1 eine Quadratzahl ist.
Aufgabe V13 Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen m, n ∈ N mit
m < n gilt, dass
n
m
<
für k = 1, . . . , m.
k
k