Mathematik für Informatiker Kombinatorik und Analysis ¨Ubungsblatt 2

Wintersemester 16/17
Dr. Janko Boehm
Mathematik für Informatiker
Kombinatorik und Analysis
Übungsblatt 2
Abgabetermin Montag, den 14.11.2016 vor der Vorlesung.
1. Sei n ∈ N und M ⊂ {1, . . . , 2n} eine Menge von ganzen Zahlen mit |M | = n + 1
Elementen.
(a) Zeigen Sie, dass es in der Menge M zwei verschiedene Zahlen gibt, sodass die eine
Zahl die andere Zahl teilt.
Hinweis: Verwenden Sie das Schubfachprinzip.
(b) Illustrieren Sie Ihren Beweis für n = 4 und alle Mengen M mit 1 ∈
/ M.
2. Sei n ∈ N und seien n2 + 1 beliebige Punkte in dem Quadrat
{(x, y) | 0 ≤ x < n, 0 ≤ y < n}
gegeben. Zeigen Sie, dass es unter diesen zwei Punkte gibt, die Abstand ≤
√
2 haben.
3. Seien M, N endliche Mengen mit |M | = |N | und f : M → N eine Abbildung. Zeigen
Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) f ist bijektiv,
(b) f ist injektiv,
(c) f ist surjektiv.
4. Seien M, N, L 6= ∅ Mengen und f : M → N und h : N → L Abbildungen. Zeigen Sie:
(a) Sind f und h injektiv, dann ist auch h ◦ f injektiv.
(b) Sind f und h surjektiv, dann ist auch h ◦ f surjektiv.
(c) f ist injektiv genau dann, wenn es eine Abbildung g : N → M gibt mit g ◦ f = idM .
f
a
1
2
3
g
b
c
d
id
(d) f ist surjektiv genau dann, wenn es eine Abbildung g : N → M gibt mit f ◦g = idN .
1
2
3
4
f
a
b
c
g
id
5. (4 Zusatzpunkte) Schreiben Sie ein rekursives Programm, das das Spiel ”Die Türme von
Hanoi” löst.