Wintersemester 16/17 Dr. Janko Boehm Mathematik für Informatiker Kombinatorik und Analysis Übungsblatt 2 Abgabetermin Montag, den 14.11.2016 vor der Vorlesung. 1. Sei n ∈ N und M ⊂ {1, . . . , 2n} eine Menge von ganzen Zahlen mit |M | = n + 1 Elementen. (a) Zeigen Sie, dass es in der Menge M zwei verschiedene Zahlen gibt, sodass die eine Zahl die andere Zahl teilt. Hinweis: Verwenden Sie das Schubfachprinzip. (b) Illustrieren Sie Ihren Beweis für n = 4 und alle Mengen M mit 1 ∈ / M. 2. Sei n ∈ N und seien n2 + 1 beliebige Punkte in dem Quadrat {(x, y) | 0 ≤ x < n, 0 ≤ y < n} gegeben. Zeigen Sie, dass es unter diesen zwei Punkte gibt, die Abstand ≤ √ 2 haben. 3. Seien M, N endliche Mengen mit |M | = |N | und f : M → N eine Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: (a) f ist bijektiv, (b) f ist injektiv, (c) f ist surjektiv. 4. Seien M, N, L 6= ∅ Mengen und f : M → N und h : N → L Abbildungen. Zeigen Sie: (a) Sind f und h injektiv, dann ist auch h ◦ f injektiv. (b) Sind f und h surjektiv, dann ist auch h ◦ f surjektiv. (c) f ist injektiv genau dann, wenn es eine Abbildung g : N → M gibt mit g ◦ f = idM . f a 1 2 3 g b c d id (d) f ist surjektiv genau dann, wenn es eine Abbildung g : N → M gibt mit f ◦g = idN . 1 2 3 4 f a b c g id 5. (4 Zusatzpunkte) Schreiben Sie ein rekursives Programm, das das Spiel ”Die Türme von Hanoi” löst.