Diskrete Mathematik ¨Ubungsblatt 2

Prof. Dr. Valentin Blomer
Wintersemester 2010/11
Diskrete Mathematik
Übungsblatt 2
Aufgabe 1. Sei m eine positive ganze Zahl. Auf der Menge Z der ganzen
Zahlen definieren wir eine Relation R so, dass fuer zwei ganze Zahlen a, b
genau dann (a, b) ∈ R gilt, wenn a − b durch m teilbar ist, wenn es also eine
ganze Zahl d mit md = a−b gibt. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation
ist. Wieviele Äquivalenzklassen gibt es?
Aufgabe 2. Seien f : A → B und g : B → C Abbildungen. Zeigen Sie
a) Ist g ◦ f surjektiv, so ist g surjektiv.
b) Ist g ◦ f injektiv, so ist f injektiv.
c) Ist g ◦ f bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv.
Geben Sie ein Beispiel für zwei Funktionen f, g an, bei dem f nicht surjektiv
und g nicht injektiv, aber g ◦f bijektiv ist. Geben Sie auch ein Beispiel dafür
and, dass die Umkehrung von (c) nicht gilt, dass also aus f injektiv und g
surjektiv nicht notwendigerweise g ◦ f bijektiv folgt.
Aufgabe 3. Sei M eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass M und P(M )
nicht gleichmächtig sind.
Anleitung: Nehmen Sie an, es gäbe eine Bijektion φ zwischen M und P(M ).
Sei U := {x ∈ M | x 6∈ φ(x)} ⊆ M die Menge aller derjenigen x, die nicht
in ihrem Bild unter φ enthalten sind. Betrachten Sie nun das Urbild von
U und erinnern Sie sich an den Beweis der Tatsache, dass die “Menge aller
Mengen” keine Menge ist.
Aufgabe 4. Sei n eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass die Menge aller
Polynome vom Grad ≤ n mit rationalen Koeffizienten abzählbar ist.
Abgabe am Dienstag, dem 10. November, vor der Vorlesung.