Serie 1 - D-MATH

MATH, PHYS, CHAB
Prof. Dr. E. Kowalski
Analysis I
HS 2013
Serie 1
1. Stellen Sie Wahrheitstafeln zu folgenden zwei Aussagen auf. Sind diese
Aussagen wahr?
(a) (A → B) ↔ (B ∨ (¬A)).
(b) ((A → B) ∧ B) → A.
2. Zeigen Sie, dass es sich bei den folgenden Aussagen um Tautologien handelt.
(a) ¬¬A ↔ A
(b) ¬(A ∧ ¬A)
(c) (A ∧ ¬A) → B
(d) (¬B → ¬A) ↔ (A → B)
3. Sei X eine Menge. Zeigen Sie die Gesetze von de Morgan: Für alle A, B ⊂
X:
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c ,
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
Dabei ist Ac = X \ A.
4. Beweisen Sie die folgenden Aussagen A(n), B(n) für alle natürlichen Zahlen n ∈ N.
(a)
A(n) :⇔
!
1
i = n(n + 1) .
2
i=1
n
X
(b)

B(n) :⇔ 
n
X
i3 =
i=1
n
X
!2 
i
.
i=1
Tipp zu B(n): Beim Induktionsschritt nicht direkt den ersten Aufgabenteil verwenden, sondern erst eine binomische Formel anwenden.
5. Sei X eine Menge. Für alle Teilmengen A ⊂ X ist die charakteristische
Funktion von A definiert als χA : X −→ {0, 1} mit Abbildungsvorschrift
1
falls x ∈ A
χA (x) =
0
falls x ∈
/A
Sei nun {0, 1}X die Menge der Funktionen X → {0, 1}. Ferner bezeichne
P(X) die Menge der Teilmengen von X.
Verifizieren Sie, dass die folgende Abbildung eine Bijektion ist.
P(X) −→ {0, 1}X
A 7→ χA
1
6. Multiple Choice Aufgaben:
Bei einigen Aufgaben können auch mehrere Antworten richtig sein. Eine
Aufgabe ist dann korrekt gelöst und mit einem Punkt bewertet, wenn
Sie genau die richtigen Antworten angeben. Andernfalls wird sie mit Null
bewertet.
Falls Sie die Lösung nicht wissen, raten Sie nicht und wählen Sie bei der
Eingabe “Weiss ich nicht.” So erhalten wir eine bessere Rückmeldung.
1. Sei X = {a, {b, c}, ∅} eine Menge mit drei Elementen. Hier bezeichnet
∅ die leere Menge. Nehmen Sie an, dass a, b und c paarweise verschieden
sind. Welche der folgenden Ausdrücke gleicht der Potenzmenge von X?
(a)
{a, {b, c}, ∅, b, c}.
(b)
{{a}, {b, c}, {∅}, {a, {b, c}}, {a, ∅}, {{b, c}, ∅}, X, ∅}.
(c)
{{a}, {{b, c}}, {∅}, {a, {b, c}}, {a, ∅}, {{b, c}, ∅}, X, ∅}.
(d)
{{a}, {{b, c}}, {∅}, {a, {b, c}}, {a, ∅}, {{b, c}, ∅}, X}.
(e)
Keiner.
2. Seien D und E Mengen. Seien A (x, y) und B (x, y) Aussagen für x, y ∈
D, ∈ E. Sei x0 ∈ D. Welcher logische Ausdruck ist die Negation von
∀ ∈ E ∃ δ ∈ E ∀ x ∈ D (Aδ (x0 , x) ⇒ B (x0 , x)) ?
(a)
∀ ∈ E ∃ δ ∈ E ∀ x ∈ D ((¬B (x0 , x)) ∧ Aδ (x0 , x)) .
(b)
∃ ∈ E ∀ δ ∈ E ∃ x ∈ D ((¬B (x0 , x)) ∧ Aδ (x0 , x)) .
(c)
∃ ∈ E ∀ δ ∈ E ∃ x ∈ D (Aδ (x0 , x) ⇒ B (x0 , x)) .
(d)
Keiner.
2
3. Seien X und Y nichtleere Mengen, wobei Y mindestens zwei Elemente
enthalten soll. Sei y0 ∈ Y fest gewählt. Definiere
X −→ X × Y
x 7→ (x, y0 ).
Welche Aussagen treffen zu?
(a)
Die Funktion ist injektiv.
(b)
Die Funktion ist surjektiv.
(c)
Die Funktion ist bijektiv.
(d)
Keine.
4. Seien X und Y wie oben gegeben. Definiere
X × Y −→ X
(x, y) 7→ x.
Welche Aussagen treffen zu?
(a)
Die Funktion ist injektiv.
(b)
Die Funktion ist surjektiv.
(c)
Die Funktion ist bijektiv.
(d)
Keine.
5. Seien X und Y wie oben gegeben, y0 ∈ Y . Definiere
Y −→ Y
y 7→ y0 .
Welche Aussagen treffen zu?
(a)
Die Funktion ist injektiv.
(b)
Die Funktion ist surjektiv.
(c)
Die Funktion ist bijektiv.
(d)
Keine.
Abgabe: Freitag, den 27. September 2013.
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