Lineare Algebra und analytische Geometrie I für die Fachrichtung

Institut für Algebra und Geometrie
PD Dr. Gabriele Link
Diego De Filippi
Lineare Algebra und analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik
Wintersemester 2011/12
Übungsblatt 3
31.10.2011
Aufgabe 1
Gegeben seien die Mengen
und
A, B
sowie Abbildungen
C
f :A→B
und
g : B → C . Beweisen
oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
a)
g◦f
b)
f
ist bijektiv
⇒f
ist injektiv und
g
h : A → A eine
h ◦ h = idA gilt, so
c) Sei
und
g
sind bijektiv.
ist surjektiv
⇒ g◦f
Abbildung von
ist
h
A
ist surjektiv.
in sich selbst und idA
:A→A
die Identität. Wenn
bijektiv.
Aufgabe 2
Es seien
A
und
B
Mengen und
f : A → B
eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der
folgenden Eigenschaften:
i)
f
ist injektiv.
ii) Für alle
iii) Für alle
X, Y ⊂ A
gilt:
X⊂Y ⊂A
f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ).
gilt:
f (Y \ X) = f (Y ) \ f (X).
Aufgabe 3
R×R
a) Auf der Menge
sei eine Relation
∼
gegeben durch
(x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) :⇔ x21 + y12 = x22 + y22 .
∼ eine Äquivalenzrelation ist und skizzieren Sie die Äquivalenzklasse von
Zeigen Sie, dass
(−1, 2).
b) Auf der Menge
Z×N
sei eine Relation
∼
gegeben durch
(z1 , n1 ) ∼ (z2 , n2 ) :⇔ z1 n2 = z2 n1 .
∼ eine Äquivalenzrelation ist, und geben Sie eine bijektive Abbildung
]
M der Äquivalenzklassen, M = {(z,
n) | (z, n) ∈ Z × N}, auf die Menge Q
Zeigen Sie, dass
von der Menge
der rationalen Zahlen an.
Abgabe der Lösungen bis zum Montag, den 07.11.2011 um 12.00 Uhr in den entsprechenden
ihres Tutoriums bei den Seminarräumen Z1 und Z2 im Zähringerhaus, Gebäude Nr. 01.85
mathematischen Bibliothek). Bitte
gelben Briefkasten
(Eingang neben der
und vermerken
. Jede Aufgabe wird mit maximal 4 Punkten bewertet.
Die Übungsblätter nden Sie unter http://www.math.kit.edu/iag2/edu/la1inf2011w/de.
heften Sie ihre Abgabe ordentlich zusammen
ihren Namen und ihre Matrikelnummer
Sie ihr Tutorium,