Aufgaben zur Vorlesung Topologie I

Aufgaben zur Vorlesung
Topologie I
Blatt 4
Wintersemester 2014/2015
A. Bartels / U. Pennig
Abgabe: Donnerstag, den 13.11.2014
Aufgabe 1. Seien (C∗ , ∂∗ ), (C∗0 , ∂∗0 ) Kettenkomplexe und f∗ : C∗ → C∗0 eine Kettenabbildung. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen über die induzierte Abbildung
Hn (f ) : Hn (C∗ , ∂∗ ) → Hn (C∗0 , ∂∗0 ):
(a) fn ist bijektiv für alle n ⇒ Hn (f ) ist bijektiv für alle n,
(b) fn ist bijektiv für alle n ⇐ Hn (f ) ist bijektiv für alle n,
(c) fn ist injektiv für alle n ⇒ Hn (f ) ist injektiv für alle n,
(d) fn ist injektiv für alle n ⇐ Hn (f ) ist injektiv für alle n,
(e) fn ist surjektiv für alle n ⇒ Hn (f ) ist surjektiv für alle n,
(f) fn ist surjektiv für alle n ⇐ Hn (f ) ist surjektiv für alle n.
Aufgabe 2. Sei X ein topologischer Raum und A ⊂ X ein Unterraum, sei ι : A → X
die Inklusionsabbildung. A heißt Retrakt von X, falls eine stetige Abbildung r : X → A
existiert, so dass r ◦ ι = idA . Zeigen Sie, dass es abelsche Gruppen Kn ⊂ Hn (X) gibt mit
Hn (X) ∼
= Hn (A) ⊕ Kn .
Aufgabe 3. Sei R ein kommutativer Ring. Wir berechnen in dieser Aufgabe die simpliziale
Homologie von ∆n und ∂∆n .
(a) Beweisen Sie, dass

R
Hk (∆n ; R) =
0
für k = 0
sonst
Konstruieren Sie hierzu Abbildungen θk : Ck (∆n ; R) → Ck+1 (∆n ; R) mit der Eigenschaft, dass dk+1 ◦ θk + θk−1 ◦ dk = idCk für k > 0 und d1 ◦ θ0 = idC0 − ι ◦ .
Hierbei ist ι : R → C0 (∆n ; R) gegeben durch r 7→ r v0 für eine feste Ecke v0 ∈ V und
P
P
: C0 (∆n ; R) → R ist gegeben durch ( i ri vi ) = i ri .
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von (a), dass

R
Hk (∂∆n ; R) =
0
für k ∈ {0, n − 1}
sonst
Aufgabe 4. In dieser Aufgabe soll das Neunerlemma bewiesen werden: Seien Ai , Bi und
Ci abelsche Gruppen, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
0
0
/ A1
a1
0
i1
/ B1
/ A2
i2
/ A3
0
i3
p1
/ B2
/ C1
/0
p2
/ C2
/0
c2
b2
0
c1
b1
a2
0
0
/ B3
0
p3
/ C3
/0
0
Zeigen Sie: Sind alle Spalten des obigen Diagramms und die unteren beiden Zeilen exakte
Sequenzen, dann ist die obere Zeile auch eine.