technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , F RANK VALLENTIN
Höhere Mathematik für Informatiker I (WS 2001/02)
— Aufgabenblatt 2 (25.10.2001) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 8. Wer wird Millionär mit Gruppenaxiomen.
Sei (G, ◦) eine Gruppe mit neutralem Element e ∈ G. Das zu g ∈ G inverse Element werde mit g −1 bezeichnet.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
∀g ∈ G ∃g 0 : g ◦ g 0 = e
∃h∀g ∈ G : h ◦ g = h
∃h∀g ∈ G : h ◦ g = g
∀g ∈ G∀f ∈ G : g ◦ f ◦ g −1 = f
∀g, f, h, k ∈ G : (g ◦ f ) ◦ (h ◦ k) = g ◦ ((f ◦ h) ◦ k)
∀g ∈ G∃h ∈ G : h ◦ g = g
∀g, f, h ∈ G : (g ◦ f ) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
Aufgabe 9. Injektivität, Surjektivität, Bijektivität.
Gegeben sind folgende Funktionen f : I −→ J, x 7→ f (x), wobei I, J ⊆ R jeweils eingeschränkte Definitionsbereiche bzw. Bildbereiche von f sind. Welche der folgenden Aussagen sind wahr ?
1.) Gegeben sei die Funktion f : [3, 4] −→ [3, 4], f (x) = (x − 4)2 + 3.
f ist injektiv.
f ist surjektiv.
f ist bijektiv.
2.) Gegeben sei die Funktion f : [−4, −2] −→ [−5, −6], f (x) = −(x + 3)2 − 5.
f ist injektiv.
f ist surjektiv.
f ist bijektiv.
3.) Gegeben sei die Funktion f : I −→ J, f (x) = sin x.
f : [0, 2π] −→ R ist surjektiv.
f : [0, π2 ] −→ [0, 1] ist surjektiv.
f : [−π, π] −→ [−1, 1] ist bijektiv.
f : [0, π2 ] −→ [−1, 1] ist injektiv.
Aufgabe 10. Abgeschlossene Operatoren.
Entscheiden Sie, welche der angegebenen Mengen bezüglich der jeweils angegebenen Operationen abgeschlossen
sind:
1
√
1
. . . 5% von . . . 200% von . . . (. . .) 3
(...)
N
Z − {0}
Z+
Z
Q − {0}
Q+
Q
R − {0}
R+
R
Aufgabe 11. Implizite Mengen explizit gemacht.
Geben Sie die nachfolgenden Mengen explizit an:
a.) A = {n ∈ N | n2 + n + 10 ≤ n3 }.
b.) B = {n ∈ N | n ≤ 42, n ist Produkt von genau zwei verschiedenen Primzahlen}.
c.) C = {a ∈ Z30 | a besitzt kein Inverses in (Z30 , 30 )}.
Aufgabe 12. Die Symmetriegruppe des regelmäßigen Vierecks.
Wir definieren die drei Abbildungen id, σ, τ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} durch id(n) = n und σ(1) = 1, σ(2) = 4,
σ(3) = 3, σ(4) = 2, sowie τ (1) = 2, τ (2) = 3, τ (3) = 4, τ (4) = 1. Bestimmen Sie die Menge
D = {id, σ, τ, σ ◦ σ, σ ◦ τ, τ ◦ σ, τ ◦ τ, σ ◦ σ ◦ σ, σ ◦ σ ◦ τ, σ ◦ τ ◦ σ, σ ◦ τ ◦ τ, . . .}.
Überprüfen Sie mit Hilfe einer Tafel, daß (D, ◦) eine Gruppe ist. Welche Teilmengen von D bilden selbst wieder eine
Gruppe (bzgl. “◦”)?
— Hausaufgaben —
Aufgabe 13. Dezimalbruchentwicklung von rationalen Zahlen.
Jeder Bruch ab mit a ∈ Z, b ∈ N+ lässt sich entweder als endlicher Dezimalbruch oder als unendlicher periodischer
Dezimalbruch darstellen.
1. Geben Sie für b < 12, b ∈ N+ , alle möglichen Perioden der Brüche
2. Charakterisieren Sie die Paare (a, b), für die der Bruch
3. Schreiben Sie die Dezimalzahl
a
b
a
b
an.
in Dezimalschreibweise nicht periodisch ist.
0, a1 a2 a3 . . . an b1 b2 b3 . . . bm als Bruch.
Aufgabe 14. Die Gruppe der Isometrien des eindimensionalen Raumes.
Die Menge G der abstandserhaltenden Abbildungen ist definiert durch
G := {f : R → R | für alle x, y ∈ R gilt |x − y| = |f (x) − f (y)|}.
Die Operation “◦” bildet zwei Abbildungen f, g ∈ G auf eine Abbildung h := f ◦ g ab. Diese Operation ist elementweise definiert: Für alle x ∈ R gilt h(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)).
a.) Geben Sie wenigstens drei Elemente von G explizit an.
b.) Zeigen Sie, daß G unter der Operation “◦” abgeschlossen ist.
c.) Überprüfen Sie, daß (G, ◦) eine Gruppe ist.
Aufgabe 15. Asterix bei der RSA (Roman Security Agency)
Die wirklich wichtigen Verhandlungspunkte, die erstaunlich aktuell sind, werden natürlich von der Chefkryptologin
chiffriert. Jedoch scheint Obelix ein bislang unbeachtetes Talent zu besitzen. Was möchte er Asterix sagen?
Bitte ermitteln Sie Ihre endgültige Übungsgruppennummer (Aushang bei S4234)!