Übungsblatt1 zu Analysis/Numerik 1993

Übungen zu Mathematik I
11.11.2016
Blatt 3
1) Eine Hashfunktion ist eine Abbildung von einer Menge S von Schlüsselwerten in eine Menge
B von Behältern (Buckets). Sei S = { 211, 300, 352, 423, 498, 586, 612, 714, 810, 935 } und
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Die Zuordnung erfolge so, dass jedem Schlüsselwert der Behälter
zugeordnet wird, dessen Nummer dem Rest des Schlüsselwerts bei Division durch 7
entspricht, also f : S  B , f(x) = x mod 7.
a) Begründen Sie, dass f nicht injektiv ist.
b) Untersuchen Sie, ob f surjektiv ist.
2) Es sei N = Menge der natürlichen Zahlen, Z = Menge der ganzen Zahlen, Q = Menge der
rationalen Zahlen und R = Menge der reellen Zahlen. Welche der folgenden Abbildungen sind
injektiv, surjektiv oder bijektiv? Machen Sie sich dies zunächst jeweils anschaulich klar. Falls
Sie dann meinen, dass die Eigenschaft nicht gegeben ist, so beweisen Sie dies durch ein
Gegenbeispiel. Falls Sie meinen, dass die Eigenschaft gegeben ist, so zeigen Sie dies durch
einen formalen Beweis aufgrund der Definition.
a) f: Z  Z mit f(m) = 5m,
b) f: Q  Q mit f(q) = 5q,
c) f: R  R mit f(x) = |x|,
d) f: Z  N  0 mit f(m) = |m|.
3) Zeigen Sie durch Angabe von Gegenbeispielen, dass die Abbildung (Z und N wie bei Aufgabe 2)
f: Z  Z   N  {0}  Z mit f (x, y)  (x 2 , x  y) nicht injektiv und nicht surjektiv ist.
4) Gegeben sind die Abbildungen f: |R  |R mit f  x   3x  4 sowie g: |R  |R mit
g  x   2x 2  3 .
a) Skizzieren Sie die Funktionen und machen Sie sich klar, welche der Eigenschaften
„injektiv“ bzw. „surjektiv“ vorliegt.
b) Untersuchen Sie f und g mittels der Definitionen auf „injektiv“ und „surjektiv“.
c) Bestimmen Sie f f , f g, g f ,g g sowie f 1 .
d) Schränken Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich von g so ein, dass g
bijektiv ist und geben Sie die Gleichung der Umkehrfunktion an (es entsteht bei der
Änderung von Definitions- und Wertebereich streng genommen eine neue Funktion, eine
Restriktion von g, die wir aber der Einfachheit halber auch mit g bezeichnen).
5) Zeigen Sie unter Verwendung der Definitionen von „injektiv“ und „surjektiv“, dass durch die
1
Funktionsvorschrift f (x)  2
die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen bijektiv auf
x 1
das halboffene Intervall (0,1] abgebildet wird. Geben Sie außerdem die Gleichung der
Umkehrfunktion an.
Was ist an der Aussage dieser Aufgabe erstaunlich? Machen Sie sich die Aussage dieser
Aufgabe klar, indem Sie den Graphen der Funktion in einem Koordinatensystem skizzieren.