Abbildungen, Werte und Graphen

Vorkurs Mathematik für EI
Prof. Dr. J. Dorfmeister
Thorsten Knott
TU München
WS 12/13
Abbildungen, Werte und Graphen
1.
Abbildung
Eine Abbildung f von X nach Y , f : X → Y , ist eine Zuordnung, die jedem Punkt
x ∈ X genau einen (eindeutig bestimmten) Punkt y ∈ Y zuordnet. Man schreibt
y = f (x).
Ist f : X → Y eine Abbildung so heiÿt X Denitionsbereich von f und
f (A) = {f (x)|x ∈ A} das Bild von A unter f . Y bezeichnet man als Wertebereich
bzw. Bildbereich von f .
2.
Surjektiv
3.
Injektiv
Ist f : X → Y eine Abbildung, so heiÿt sie surjektiv, wenn für alle y ∈ Y ein x ∈ X
existiert mit: f (x) = y .
Ist f : X → Y eine Abbildung, so heiÿt sie injektiv, wenn es für alle y ∈ Y höchstens
ein x ∈ X gibt mit: f (x) = y , d. h. es muss für alle x, x0 ∈ X folgendes gelten:
x 6= x0 ⇒ f (x) 6= f (x0 ) oder alternativ f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0
4.
Bijektiv
5.
Inverse Funktion
Ist f : X → Y eine Abbildung, so heiÿt sie bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv
ist.
Ist f : X → Y eine bijektive Abbildung, so gibt es eine Umkehrfunktion
f −1 : Y → X . Diese Funktion ist eindeutig gegeben durch die Festlegung
x = f −1 (y) ⇔ f (x) = y
6.
Komposition
Sind f : X → Y und g : Y → C Funktionen, dann ist die Komposition g ◦ f diejenige
Funktion g ◦ f : X → C von X nach C , für die gilt:
(g ◦ f )(x) = g(f (x)), für alle x ∈ X
Mit einer weiteren Funktion h : C → D gilt:
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
Sind f und g bijektiv, dann ist auch g ◦ f bijektiv und es gilt:
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
1. Welche Abbildungen ergeben sich für f ◦ g und g ◦ f ? Geben Sie sinnvolle Denitionsbereiche an.
√
(a) f (x) = 3 x, g(x) = x2 + 1
(b) f (x) = 4x − 2, g(x) = 2x − 4
2. Berechnen Sie f ◦ g für:
(a) f (x) = x3 und g(x) = x + h
(b) f (x) =
√
1 + x, x > 4
und g(x) = x
x2 , x ≤ 4
1
3. (a) Sei f (x) = x3 und g(x) = x + h. Vereinfachen Sie den folgenden Term soweit wie möglich:
(f ◦g)(x)−f (x)
.
h
(b) Betrachten Sie nun f (x) = x(x + 1), g(x) = x − h und gehen Sie wie in Teilaufgabe (a) vor.
4. Eine Abbildung f : R → R heiÿt linear, falls
f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ R
(1)
und
(2)
erfüllt sind. Überprüfen Sie die folgenden Abbildungen fi : R → R durch Einsetzen in die Linearitätsbedingungen (1) und (2), ob diese linear oder nicht linear sind:
f (αx) = αf (x) ∀α, x ∈ R
(a) f1 (x) = x
(b) f2 (x) = 2x
(c) f3 (x) = ax + b mit a, b ∈ R
5. Betrachten Sie die folgende Liste von Abbildungen von C nach C:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f1 : z 7→ z 2
f2 : z 7→ (Im(z))
2
f4 : z 7→ z
f5 : z 7→ z · z
f6 : z 7→ Re(z)
Welche dieser Abbildungen hat für alle z ∈ C nur reelle Werte und welche nur nicht-negative reelle
Werte?
6. Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen und überlegen Sie sich, ob diese injektiv,
surjektiv bzw. bijektiv sind:
(a) f1 : R → R, f1 (x) = 2x + 3
√
(b) f2 : [− 12 , 12 ] → R, f2 (x) = 1 − x2
(c) f3 : [0, ∞) → R, f3 (x) = x2 + 2x − 3
(d) f4 : R → R,f4 (x) =


x − 1,
−2,
 2
x − 11,
x<1
x ∈ [1, 3]
x>3
7. Geben Sie jeweils eine Funktion f : R → R an, die folgende Eigenschaften erfüllt:
(a) f ist injektiv, aber nicht surjektiv.
(b) f ist weder injektiv, noch surjektiv.
(c) f ist bijektiv.
8.
(Mathematik 1 (EI), WS09/10)
Betrachten Sie folgende Abbildungen und geben Sie jeweils an, ob diese injektiv, surjektiv und/oder
bijektiv sind.
(a)
(b)
(c)
(d)
f1 : R → R, x 7→ 2x + 3
f2 : R → R+ , x 7→
1
x2 +1
f3 : R+ → R+ , x 7→ 1 +
√
x
f5 : {1, 4, 9, 16, 25} → N0 , x 7→ (x − 1)2
9. Prüfen Sie die folgenden Funktionen auf Bijektivität und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Umkehrfunktionen:
(a)
(b)
(c)
(d)
f : Z → N0 , x 7→ x2
f : N0 → N0 , x 7→ x2
f : N → N, 1 7→ 1, x 7→ x − 1 für x > 1
f : Z → Z, x 7→ x − 1
2
10. Geben Sie jeweils eine Funktion f : R → R an, die folgende Eigenschaften erfüllt:
(a) f ist surjektiv, aber nicht injektiv.
(b) f ist nicht bijektiv auf R, aber wenn der Denitionsbereich auf ]−1, 1[ eingeschränkt wird, ist
sie es.
11. Zeigen Sie dass die Funktionen f : R → R, f (x) = 5x − 4 und g : R → R, g(x) =
voneinander sind.
12. Gegeben sei Funktion f (x) =
x+4
5
Inverse
2x
1+2|x| .
(a) Zeigen Sie f (x) ist eine Bijektion von R auf I = ]−1, 1[
(b) Finden Sie die Umkehrfunktion g = f −1 von f
13. Gegeben Seien die Mengen X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und Y = {7, 8, 9}
(a) Geben Sie eine Abbildung f : X → Y an, bei der gerade Zahlen auf gerade Zahlen abgebildet
werden.
(b) Geben Sie eine Abbildung h : Y → X an, für die
h(7) + h(8) + h(9) = 14
gilt. Kann man dabei erreichen, dass h(7), h(8) und h(9) verschiedene Zahlen sind?
14. Die Abbildung A : C \ {0} → C sei gegeben durch A(z) =
KR := {z ∈ C | |z| = R} für R > 0.
1
|z|
(−Im(z) + i · Re(z)). Ferner sei
(a) Skizzieren Sie K 21 , A(K 12 ) und K3 , A(K3 ).
(b) Beschreiben Sie die Abbildung A geometrisch und erklären Sie die Beobachtung
A(KR ) = KR ⇒ R = 1
3