Serie 3 - D-MATH

Analysis I
MATH, PHYS, CHAB
Prof. D. Salamon
HS 2014
Serie 3
1. Sei f : X → Y eine Abbildung. f braucht nicht bijektiv zu sein und damit braucht die
Umkehrabbildung f −1 nicht zu existieren. Dennoch bezeichnen wir für A ⊂ Y die Menge
der Urbilder mit
f −1 (A) := {x ∈ X | f (x) ∈ A}.
Beweisen Sie für A, B ⊂ Y
(a) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B)
(b) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B)
(c) f −1 (A\B) = f −1 (A)\f −1 (B)
2. Gegeben seinen Abbildungen f : X → Y und g : Y → Z. Zeigen Sie:
(a) Wenn f und g surjektiv sind, so ist es auch g ◦ f .
(b) Wenn f und g injektiv sind, so ist es auch g ◦ f .
(c) Wenn g ◦ f surjektiv ist, so ist auch g surjektiv.
(d) Wenn g ◦ f injektiv ist, so ist auch f injektiv.
3. Zeigen Sie, dass die Menge der endlichen Teilmengen von N abzählbar ist.
4. Sei X eine nicht endliche Menge. Wir wollen zeigen, dass es eine injektive Abbildung N → X
gibt. Daraus folgt sofort, dass es keine unendliche Menge gibt, deren Mächtigkeit kleiner als
die von N ist. Dafür gehen wir wie folgt vor:
(a) Für alle n ∈ N gibt es eine Teilmenge A ⊂ X sodass #A = n.
(b) Es existiert eine Abbildung
A : N → 2X
sodass für k ∈ N gilt: A(k) ⊂ X ist eine Teilmenge mit #A(k) = 2k .
(c) Es existiert eine Abbildung f : N → X sodass für alle k ∈ N gilt:
f (k) ∈ A(k)\ (A(1) ∪ A(2) ∪ . . . ∪ A(k − 1)) .
(d) f ist injektiv.
1
5. Binäre Darstellung der reellen Zahlen: Für n ∈ N und a1 , a2 , . . . , an ∈ {0, 1} definieren
wir
" n
#
n
X ai X
1
ai
,
+ n
I(a1 , . . . , an ) :=
2i i=1 2i
2
i=1
(a) Zeigen Sie, dass es genau eine Abbildung g : {0, 1}N → [0, 1] gibt, sodass
\
g((an )n∈N ) ∈
I(a1 , . . . , an ).
n∈N
(b) Zeigen Sie, dass g surjektiv ist (und somit die binäre Darstellung der reellen Zahlen im
Einheitsintervall definiert ist).
(c) Ist g injektiv (d.h. ist die binäre Darstellung eindeutig)?
6. Schreiben Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen für z in Normalform (d.h. in der Form
z = a + ib mit a, b ∈ R):
(a) z = (4 + 3i)(2 − i)
(c) z =
(b) z = (2 − i)3
(d) z =
4+3i
2−i
2−i
4+3i
7. Skizzieren Sie die Lösungesmengen von
z (a) 0 < Re(z) < 1
(c) z+1
=2
(b) |z| = Re(z) + 1
(d) |z − 2| + |z + 2| = 5
Abgabe: Freitag, den 10. Oktober 2014.
2
(e) z 3 = i
(f) z 2 + 3 + 4i = 0
z−i (e) Im z+1
=0
z−i (f) z+1
=1