Universität Stuttgart Höhere Mathematik I Injektivität, Surjektivität

Prof. Dr. C. Hesse
PD Dr. P. H. Lesky
Dipl. Math. D. Zimmermann
Msc. J. Köllner
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
FAQ 1
Höhere Mathematik I
25.10.2013
el, kyb, mecha, phys
Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
In Definition 1.6.5 des Vorlesungsskriptes “Lineare Algebra und Geometrie” von W. Kimmerle und M. Stroppel
werden die Begriffe Injektivität, Surjektivität und Bijektivität wie folgt eingeführt:
Seien A und Z beliebige nichtleere Mengen, dann heißt eine Abbildung f : A → Z
• injektiv, falls für a, b ∈ A mit a 6= b stets f (a) 6= f (b) gilt,
• surjektiv, falls man für jedes z ∈ Z ein a ∈ A mit f (a) = z findet,
• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
Ist eine Abbildung f : A → Z also bijektiv, so exisitiert für jedes Element z des Bildbereichs Z genau ein
Element a des Definitionsbereiches A, welches auf z abgebildet wird. Dies erlaubt es uns durch
f −1 : Z → A, f (a) 7→ a
eine Umkehrabbildung zu definieren, welche die beiden Eigenschaften f ◦ f −1 = idZ und f −1 ◦ f = idA erfüllt
(siehe Satz 1 unten). idA : A → A bzw. idZ : Z → Z bezeichnen dabei die identischen Abbildungen auf A bzw.
Z, welche jedes Element auf sich selbt abbilden. Beachte, dass zu einem gebenen f : A → Z also nur dann eine
Umkehrung f −1 : Z → A existiert falls f bijektiv ist!
Wir wollen diese Begriffe im Folgenden vertiefen und so eine kleine Hilfestellung zur Bearbeitung von Aufgabe
7 auf Blatt 2 geben.
Mit Aufgabe 2 (b) von Blatt 1 sehen wir, dass sich die Bedingung für die Injektivität einer Abbildung auch wie
folgt schreiben lässt:
⇔
a 6= b ⇒
f (a) = f (b) ⇒
f (a) 6= f (b)
a = b.
Bezeichnet die Menge
f (A) := {z ∈ Z : es gibt ein a ∈ A mit f (a) = z}
das Bild von f unter A, so ist die Surjektivität von f äquivalent zur Bedingung f (A) = Z. Daraus folgt
insbesondere auch, dass jede Abbildung f : A → f (A) automatisch surjektiv ist.
Ob eine Abbildung a 7→ f (a) injektiv, surjektiv oder bijektiv ist hängt im Wesentlichen von den Mengen ab,
auf denen sie operiert, dies wollen wir anhand des folgenden Beispiels verdeutlichen:
1 Beispiel. Mit R+ bezeichnen wir die Menge aller positiven reellen Zahlen. Dann ist
• f1 : R → R, x 7→ x2 weder injektiv, noch surjektiv,
• f2 : R+ → R, x 7→ x2 injektiv aber nicht surjektiv,
• f3 : R → R+ , x 7→ x2 nicht injektiv aber surjektiv,
• f4 : R+ → R+ , x 7→ x2 injektiv und surjektiv.
Die Umkehrabbildung von f4 ist dann gegeben durch f4−1 : R+ → R+ , x 7→
1 Satz. Ist f : A → Z bijektiv, so sind f ◦ f
−1
= idZ und f
−1
√
x.
◦ f = idA .
Beweis: Da f bijektiv ist, existiert die Umkehrabbildung f −1 und es folgt sofort f −1 (f (a)) = a für alle a ∈ A.
Damit ist f −1 ◦ f = idA . Für die andere Eigenschaft bemerken wir, dass wir wegen Surjektivität von f zu einem
gegebenen z ∈ Z ein a ∈ A finden, so dass z = f (a). Nach Anwendung der Umkehrabbildung f −1 auf beiden
Seiten folgt daraus a = f −1 (z) bzw. f (f −1 (z)) = f (a) = z. Damit ist auch die Eigenschaft f ◦ f −1 = idZ
gezeigt.
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