TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, D R . H ERMANN VOGEL , P ETER L EBMEIR
Lineare Algebra und analytische Geometrie 1, Mathematik für Physiker 1 (WS 2005/06)
— Aufgabenblatt 3 (14. November 2005) —
— Multiple choice - Aufgaben —
M 22. Wer wird Millionär mit Gruppenaxiomen.
Sei (G, ◦) eine Gruppe mit neutralem Element e ∈ G. Das zu g ∈ G inverse Element werde mit g −1
bezeichnet. Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
∃h ∈ G ∀g ∈ G : h ◦ g = e
∃h ∈ G ∀g ∈ G : h ◦ g = h
∀g ∈ G ∀f ∈ G : g ◦ f ◦ g −1 = f
∀g ∈ G ∃h ∈ G : h ◦ g = e
∀g, f, h, k ∈ G : (g ◦ f ) ◦ (h ◦ k) = g ◦ ((f ◦ h) ◦ k)
— Präsenzaufgaben —
P 23. Welche der folgenden Abbildungen sind surjektiv, injektiv bzw. bijektiv?
f : R×R → R×R
f: R
→ R×R
f : R×R → R×R
(x, y) 7→ (x − y, x + y)
x
7→ (2x, x − 1)
(x, y) 7→ (xy, x + y)
P 24. Eine Menge X heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n und eine bijektive Abbildung
f : {1, 2, . . . , n} → X gibt. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Sei X eine endliche Menge und f : {1, 2, . . . , n} → X bzw. g : {1, 2, . . . , m} → X seien
bijektiv. Dann gilt m = n . (Man schreibt |X| := n, die Mächtigkeit von X.)
b) Sei X eine endliche Menge. Eine Abbildung f : X → X ist genau dann injektiv, wenn sie
surjektiv ist.
P 25. Sei n ∈ N und En := {1, . . . , n}. Die symmetrische Gruppe (Sn , ◦) ist gegeben als Menge der
Permutationen: Sn := {f : En → En |f bijektiv} zusammen mit der Hintereinanderausführung ◦ als
Verknüpfung.
Seien x1 , x2 , . . . xk ∈ En paarweise verschiedene Elemente. Der k–Zykel (x1 x2 . . . xk ) ist diejenige
Permutation f ∈ Sn mit f (x1 ) = x2 , f (x2 ) = x3 , . . . , f (xk−1 ) = xk , f (xk ) = x1 sowie
f (x) = x ∀x ∈ En \{x1 , x2 , . . . , xk }.
1
2
... n
Alternativ läßt sich ein Element f ∈ Sn auch in Werteschreibweise f =
f (1) f (2) . . . f (n)
angeben.
a) Geben Sie für g : E8 → E8 mit g = (136) ◦ (523) ◦ (61) ◦ (834) ◦ (17) das Ergebnis in Werteschreibweise an.
b) Zwei Zykel (x1 x2 . . . xk ) und (y1 y2 . . . yl ) heißen elementfremd, wenn
{x1 , x2 , . . . , xk } ∩ {y1 , y2 , . . . , yl } = ∅.
Geben Sie ein Verfahren an, wie man von der Werteschreibweise einer Permutation auf die elementfremde Zykelschreibweise kommt.
Wie lautet g aus a) als Produkt elementfremder Zykel?
c) Zeigen Sie : Für ein k–Zykel z gilt z k = id und ∀j < k : z j 6= id. (z k := |z ◦ z ◦{z. . . ◦ z})
k mal
— Hausaufgaben —
H 26. Seien f : X → Y und g : Y → Z zwei Abbildungen. Welche der folgenden Aussagen sind
richtig? Geben Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
a) Ist g ◦ f injektiv, so ist g injektiv.
b) Ist g ◦ f surjektiv, so ist g surjektiv.
c) Ist g surjektiv und f injektiv, so ist g ◦ f bijektiv.
d) Sind g und f injektiv, so ist g ◦ f injektiv.
e) Sind g und f surjektiv, so ist g ◦ f surjektiv.
H 27.
a) Geben Sie die fehlende Definitions– bzw. Wertemenge so an, dass die folgenden Abbildungen
bijektiv werden.
f: R →
;
x 7→ (2x, x − 1)
+
f:
→ R
;
x 7→ x2 + 2x − 3
b) Geben Sie eine surjektive und nicht injektive sowie eine nicht surjektive aber injektive Abbildung
f : [0, 1] → [0, 1] an.
H 28. Die symmetrische Gruppe Sn
a) Wie viele Elemente besitzt Sn ? (Beweis)
b) Sei f = z1 ◦ z2 ◦ . . . ◦ zm eine Zerlegung in paarweise elementfremde Zykel. Zeigen Sie: Die Ordnung von f ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen der Zykel zi (i ∈ {1, 2, . . . , n})
H 29. Seien π1 , π2 ∈ S6 mit π1 =
a) Berechnen Sie π2 ◦ π1 ,
Zykelschreibweise an.
π1−1 ,
1 2 3 4 5 6
4 1 6 2 5 3
π2−1 ,
π227 ,
und π2 =
1 2 3 4 5 6
3 2 5 1 4 6
π18 und geben Sie das Ergebnis in Werte- und
b) Finden Sie die Lösungen x ∈ S6 der Gleichung π1 ◦ x ◦ π2 = π2 ◦ π1 .
H 30. Die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks
Die abstandserhaltenden Abbildungen des R2 , die ein gleichseitiges Dreieck auf sich abbilden, permutieren dessen Ecken A1 , A2 und A3 .
a) Zeigen Sie, dass die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks zur Permutationsgruppe S3
isomorph ist.
b) Welche Zykel entsprechen Achsenspiegelungen und welche Drehungen des R2 ?
Abgabetermin ist der 21.11.2005 in der Zentralübung.