Diskrete algebraische Strukturen

Diskrete algebraische Strukturen
FB 3 — Mathematisches Institut
Dr. Mark Steinhauer
Marco Böhm und Thomas Senkowski
Übung 9
25. Juni 2017
Aufgabe 57: (Hintereinanderausführung von Abbildungen)
Seien A := [0, 1] und
(a) f1 : A → A, x 7→ sin x ,
(b) f2 : A → A, x 7→ x2 ,
√
(c) f3 : A → A, x 7→ x .
Durch welche Zuordnungsvorschriften sind dann fi ◦ fj = fi fi für {i, j} ⊂ {1, 2, 3} und i 6= j
bestimmt?
Aufgabe 58: (Injektive, surjektive, bijektive Abbildungen)
Untersuchen Sie, ob die angebene Abbildung f injektiv, surjektiv oder bijektiv ist:
(a) f : N → N, n 7→ 2n + 1,
(b) f : Z → Z, z 7→ −z + 3,
(c) f : Q → Q, q 7→ 5q + 9,
(d) f : R → R, r 7→ (r − 1)(r − 2)(r − 3).
Aufgabe 59: (Surjektive Abbildungen)
Geben Sie eine Abbildung f : N → N an, die surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Aufgabe 60: (Surjektive und injektive Abbildungen)
Lösen Sie die folgende Aufgabe für die Menge
(a) A = Z,
(b) A = Q.
Sei c ∈ A und fc die durch
fc : A → A, x 7→ x + c − x · c
definierte Abbildung. Für welche c ∈ A ist
(a) fc surjektiv;
(b) fc injektiv?
Aufgabe 61:
Sei f eine Abbildung von A := R2 in B := R2 vermöge
(x, y) 7→ (αx + βy, γx + δy),
wobei α, β, γ, δ gewisse fest gewählte relle Zahlen sind. Unter welchen Bedingungen für α, β, γ, δ
ist f eine bijektive Abbildung? Wie lautet in diesem Fall die Umkehrabbildung f −1 ?
Aufgabe 62: (em Abbildungen)
Welche der folgenden Relationen Ri (i ∈ {1, 2, . . . , 6})) sind Abbildungen von D(Ri ) ⊆ R in R?
(a) R1 := {(x, y) ∈ R2 | y = sin x}, D(R1 ) := R;
(b) R2 := {(x, y) ∈ R2 | y = tan x}, D(R2 ) := R;
1
(c) R3 := {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 ∧ y = 2
}, D(R3 ) := [0, 1];
x −1
Besprechung in der 26. Woche
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FB 3 — Mathematisches Institut
Dr. Mark Steinhauer
Marco Böhm und Thomas Senkowski
Übung 9
25. Juni 2017
(d) R4 := {(x, y) ∈ R2 | x > 0 ∧ y = ln x}, D(R4 ) := R+ ;
(e) R5 := {(x, y) ∈ R2 | −5 ≤ x ≤ 5 ∧ x2 + y 2 = 25}, D(R5 ) := [−5, 5];
(f) R6 := {(x, y) ∈ R2 | y + x = 0}, D(R6 ) := R.
Aufgabe 63: (Eigenschaft von Abbildungen)
Es sei A eine endliche Menge und f : A → A eine Abbildung. Beweisen Sie:
f ist injektiv ⇔ f ist surjektiv ⇔ f ist bijektiv .
Aufgabe 64: (Korrespondenz)
Es sei F die Menge der Paare (x, y) ∈ N0 × N0 , die den folgenden Ungleichungen genügen:
10x − 2y ≥ 0, 10y − 2x ≥ 0, x + y ≤ 12.
Offenbar ist F eine Korrespondenz aus N0 in N0 und die Elemente (x, y) ∈ F kann man als
Koordinaten von Punkten in der x,y - Ebene auffassen. Geben Sie (a) eine Skizze für F an und
bestimmen Sie (b) D(F ) und W (F ), (c) F −1 , (d) F F .
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