Ubungsblatt 1 - Goethe

Goethe-Universität Frankfurt
Institut für Mathematik
Wintersemester 2017/2018
Elementarmathematik I
Prof. Dr. Annette Werner
Rosemarie Martienssen
Übungsblatt 1
Der erste Teil der Übungsblätter besteht aus Wochenaufgaben, welche im vorgegebenen Zeitraum selbstständig bearbeitet und aufgeschrieben werden sollen und
im Anschluss vom Tutor korrigiert werden. Die Plenungsaufgaben können während
des Tutoriums in kleinen Gruppen bearbeitet werden.
Wochenaufgabe 1. (8 Punkte) Wir betrachten die (endlichen) Mengen A =
{1, 2, 3}, B = {Σ, Π, Ω}, C = {α, β, γ, δ} und D = {♦, ♥} sowie die Abbildung
f : A → B gegeben durch f (1) = Ω, f (2) = Σ und f (3) = Π.
(i) Zeigen Sie, dass die Abbildung f bijektiv ist
(ii) Existiert eine injektive Abbildung g : B → D? Begründen Sie Ihre Antwort.
(iii) Existiert eine surjektive Abbildung h : B → C? Begründen Sie Ihre Antwort.
(iv) Definieren Sie eine surjektive Abbildung g : B → D, sowie eine injektive
Abbildung h : B → C. Sind die von Ihnen gewählten Abbildungen bijektiv?
(v) Geben Sie für die von Ihnen gewählten Abbildungen aus Teil (iv) die Funktionsvorschriften für die Funktionen
h ◦ f : A → C und g ◦ f : A → D
an. Zeigen Sie, dass h ◦ f injektiv und g ◦ f surjektiv ist.
Wochenaufgabe 2. (8 Punkte)
Seien M, N, O beliebige Mengen und f : M → N und g : N → O Abbildungen.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen
(i) Wenn f und g beide injektiv sind, dann ist auch g ◦ f injektiv
(ii) Wenn f und g beide surjektiv sind, dann ist auch g ◦ f surjektiv
Abgabe der Wochenaufgaben bis 12 Uhr am Montag, den 30. Oktober in
die Fächer der Tutoren im 3. Stock der Robert-Mayer-Straße 6.
(iii) Wenn g ◦ f injektiv ist, dann ist auch f injektiv
(iv) Wenn g ◦ f surjektiv ist, dann ist auch g surjektiv
Wochenaufgabe 3. (8 Punkte)
(i) Die untere Gaußklammer bxc einer reellen Zahl x bezeichnet die größte ganze Zahl y, so dass y ≤ x. So ist z.B. bπc = 3, b1c = 1 und b−2.7c = −3.
Wir betrachten die Abbildung
f : Z → Z,
f (x) =
jxk
2
Bestimmen Sie zu jedem y ∈ Z die Urbilder von y unter der Abbildung f ,
d.h. die Menge f −1 (y) = {x ∈ Z : f (x) = y}.
Tipp: Machen Sie sich zum besseren Verständnis zunächst eine Skizze
(Achtung: f −1 bezeichnet nicht die Umkehrabbildung - diese existiert in
diesem Fall nicht)
(ii) Finden Sie eine bijektive Abbildung g : N0 → Z. Hier bezeichnen wir mit
N0 die natürlichen Zahlen inklusive der 0, also die Menge {0, 1, 2, 3 . . .}. Begründen Sie die Bijektivität ihrer Abbildung.
Plenungsaufgabe 1. Bestimmen Sie für die Mengen M und N jeweils die Vereinigung M ∪ N und den Schnitt M ∩ N (in Teil (ii) mit Skizze).
(i) M = {♥, ♦, ♠} und N = {♥, ♠, ♣}
(ii) M = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ y} und N = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ −y}
Plenungsaufgabe 2.
bildungen?
(a) Welche der folgenden drei Vorschriften definieren Ab-
(i) f : N → Z, f (x) = x
(ii) g : Z → N, g(x) = x
(iii) h : Q → Z, h( ab ) = a
2
(b) Skizzieren Sie für die folgenden beiden Abbildungen jeweils die Menge
{(x, y) ∈ R2 : y ist Bild von x unter der Abbildung qi }, d.h. den Graph der
Abbildung qi , ,i ∈ 1, 2, in einem kartesischen Koordinatensystem.
(i) q1 : R → R, q1 (x) = x2
(ii) q2 : Z → R, q2 (x) = x2
Plenungsaufgabe 3. Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv, surjektiv,
bijektiv? Geben Sie im Falle einer Bijektion die Umkehrabbildung an.
(i) f1 : R → R, x 7→ x2
(ii) f2 : R+ → R+ , x 7→ x2
(iii) k : {s : s ist ein Lied} → {m : m ist ein Musiker}, s 7→ Komponist von s
(iv) g : R2 → R2 , (x, y) 7→ (2x + 4, −y)
3
Das griechiche Alphabet
Großbuchstaben
Kleinbuchstaben
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Y
Φ
X
Ψ
Ω
α
β
γ
δ
, ε
ζ
η
θ, ϑ
ι
κ,
λ
µ
ν
ξ
o
π
ρ, %
σ, ς
τ
υ
φ, ϕ
χ
ψ
ω
Name
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Iota
Kappa
Lambda
My
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Empfohlenes Zusatzmaterial: (ohne Gewähr): Link
4