Mengen und Abbildungen

LINEARE ALGEBRA
für
Informatiker und Lehramt Mathematik MS/GS/FS
SS 2016
Agnes Radl
Mengen und Abbildungen
Mengen
Georg Cantor (1895)
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von
”
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt
werden) zu einem Ganzen.“
Notation
I
m ∈ M oder M 3 m, falls m ein Element der Menge M ist.
I
m 6∈ M oder M 63 m, falls m kein Element der Menge M ist.
Beispiel
I
M = {1, 2, 3, 5}; dann 5 ∈ M, 4 6∈ M;
beachte: {1, 2, 2} = {1, 2}
I
N (Menge der natürlichen Zahlen);
I
{m ∈ N : m gerade}
leere Menge
∅ oder {}
Menge, die kein Element enthält.
Teilmenge, Obermenge
Seien A und B Mengen.
A ⊆ B,
A
falls für alle x ∈ A auch x ∈ B gilt.
I
A ist eine Teilmenge von B bzw.
I
B ist eine Obermenge von A.
Beispiel
I
{1, 4} ⊆ {1, 2, 4, 5}
I
{2n : n ∈ N} ⊆ N
Bemerkung
I
Für jede Menge A gilt:
∅ ⊆ A, A ⊆ A.
I
A = B bedeutet A ⊆ B und B ⊆ A.
B
Durchschnitt
Seien A und B Mengen.
A
Durchschnitt von A und B:
A ∩ B := {x : x ∈ A und x ∈ B}
Beispiel
I
A := {1, 2, 5}, B := {1, 5, 12} ,
I
A := {1, 2, 5}, B := {3, 4},
I
A := ∅, B beliebige Menge:
I
Ist A ⊆ B, dann ist
I
A ∩ A =A
A ∩ B ={1, 5}
A ∩ B =∅
A ∩ B =∅
A ∩ B =A.
Bemerkung
I
A und B heißen disjunkt, falls A ∩ B = ∅.
B
Vereinigung
Seien A und B Mengen.
A
B
Vereinigung von A und B:
A ∪ B := {x : x ∈ A oder x ∈ B}
Beispiel
I
A := {1, 2, 5}, B := {1, 5, 12},
I
A := ∅, B beliebige Menge:
I
A ∪ A =A
A ∪ B ={1, 2, 5, 12}
A ∪ B =B
Bemerkung
I
˙ bedeutet A ∪ B, wobei A ∩ B = ∅.
disjunkte Vereinigung: A∪B
Differenz
A
Seien A und B Mengen.
Differenz von A und B:
A \ B := {x : x ∈ A und x 6∈ B}
Beispiel
A \ B= {2}
I
A := {1, 2, 5}, B := {1, 5, 12},
I
A := {1, 2, 5}, B := {1, 2, 3, 4, 5},
I
A \ ∅ =A
I
∅ \ A =∅
I
A \ A =∅
A \ B =∅
B
Potenzmenge
Sei A eine Menge.
Potenzmenge von A:
P(A) := {M : M ⊆ A}
Menge aller Teilmengen von A“
”
Beispiel
P(A) = {∅, {2}, {5}, {2, 5}}
I
A := {2, 5},
I
P(∅) = {∅}
I
{1, 3, 7} ∈ P(N), {3n : n ∈ N} ∈ P(N)
kartesisches Produkt
Seien A und B Mengen.
Kartesisches1 Produkt von A und B:
A × B := {(x, y ) : x ∈ A, y ∈ B}
Beispiel
I
A := {2, 5},
B := {1, 2, 3},
A × B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}
I
1
A = ∅ oder B = ∅:
A×B =∅
René Descartes (1596–1650); französischer Mathematiker
Bemerkung
I
∩ und ∪ für endlich viele Mengen A1 , . . . , An :
n
\
Ak := A1 ∩ · · · ∩ An := {x : x ∈ A1 und . . . und x ∈ An },
k=1
n
[
Ak := A1 ∪· · ·∪An := {x : x ∈ A1 oder . . . oder x ∈ An },
k=1
I
ebenso das kartesische Produkt:
A1 × · · · × An := {(x1 , . . . , xn ) : x1 ∈ A1 , . . . , xn ∈ An }.
Abbildungen
Seien A und B Mengen.
Eine Abbildung oder Funktion von A nach B ist eine Vorschrift f ,
die jedem x ∈ A genau ein Element f (x) ∈ B zuordnet.
Notation: f : A → B, x 7→ f (x).
I
A – Definitionsbereich von f
I
B – Zielmenge
I
f (A) := {f (x) : x ∈ A} ⊆ B – Bildbereich von f .
I
G (f ) := {(x, f (x)) : x ∈ A} ⊆ A × B – Graph von f .
Komposition
Sind f : A → B und g : C → D Funktionen mit f (A) ⊆ C , so ist
g ◦ f : A → D,
die Komposition von g und f .
x 7→ g (f (x))
Abbildungen
Seien f , g : A → R beliebige Funktionen und sei α ∈ R. Dann sind
f + g : A → R,
αf : A → R,
definiert durch
I
(f + g )(x) := f (x) + g (x),
I
(αf )(x) := α · f (x),
I
(f · g )(x) := f (x) · g (x).
Sei A0 := {x ∈ A : g (x) 6= 0}.
Dann ist
I f
g
: A0 → R,
x 7→
f (x)
g (x) .
f ·g :A→R
injektiv, surjektiv, bijektiv; Umkehrfunktion
Seien A und B Mengen.
Eine Funktion f : A → B heißt
I
injektiv, wenn aus f (x1 ) = f (x2 ) stets x1 = x2 folgt.
I
surjektiv, wenn es für alle y ∈ B ein x ∈ A gibt mit y = f (x).
( f bildet A auf B ab.“)
”
bijektiv, wenn f sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
f besitzt dann eine Umkehrfunktion oder Inverse
I
f −1 : B → A,
wobei f −1 (y ) = x genau dann, wenn f (x) = y .