Vorlesung Mathematik I (für Biochemie, Geologie

Mengen
Georg Cantor (1895)
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von
”
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt
werden) zu einem Ganzen.“
Notation
I
m ∈ M oder M 3 m, falls m ein Element der Menge M ist.
I
m 6∈ M oder M 63 m, falls m kein Element der Menge M ist.
Beispiel
I
M = {1, 2, 3, 5}; dann 5 ∈ M, 4 6∈ M;
beachte: {1, 2, 2} = {1, 2} und {1, 2} = {2, 1}
I
N (Menge der natürlichen Zahlen), also N = {1, 2, 3, . . .}
I
{m ∈ N : m gerade}
leere Menge
∅ oder {}
Menge, die kein Element enthält.
Teilmenge, Obermenge
Seien A und B Mengen.
A ⊆ B,
A
falls für alle x ∈ A auch x ∈ B gilt.
I
A ist eine Teilmenge von B bzw.
I
B ist eine Obermenge von A.
Beispiel
I
{1, 4} ⊆ {1, 2, 4, 5}
I
{2n : n ∈ N} ⊆ N
Bemerkung
I
Für jede Menge A gilt:
∅ ⊆ A, A ⊆ A.
I
A = B bedeutet A ⊆ B und B ⊆ A.
B
Durchschnitt
Seien A und B Mengen.
A
Durchschnitt von A und B:
A ∩ B = {x : x ∈ A und x ∈ B}
Beispiel
I
A = {1, 2, 5}, B = {1, 5, 12} ,
I
A = {1, 2, 5}, B = {3, 4}, A ∩ B =∅
I
A = ∅, B beliebige Menge:
I
Ist A ⊆ B, dann ist
I
A ∩ A =A
A ∩ B ={1, 5}
A ∩ B =∅
A ∩ B =A.
Bemerkung
I
A und B heißen disjunkt, falls A ∩ B = ∅.
B
Vereinigung
Seien A und B Mengen.
A
B
Vereinigung von A und B:
A ∪ B = {x : x ∈ A oder x ∈ B}
Beispiel
I
A = {1, 2, 5}, B = {1, 5, 12},
I
A = ∅, B beliebige Menge:
I
A ∪ A =A
A ∪ B ={1, 2, 5, 12}
A ∪ B =B
Bemerkung
I
˙ bedeutet A ∪ B, wobei A ∩ B = ∅.
disjunkte Vereinigung: A∪B
Differenz
A
Seien A und B Mengen.
Differenz von A und B:
A \ B = {x : x ∈ A und x 6∈ B}
Beispiel
A \ B= {2}
I
A = {1, 2, 5}, B = {1, 5, 12},
I
A = {1, 2, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5},
I
A \ ∅ =A
I
∅ \ A =∅
I
A \ A =∅
A \ B =∅
B
Zusammenfassung der Venn1 -Diagramme
A∩B
A
A∪B
B
A
A\B
A
1
B
John Venn (1834–1923), englischer Mathematiker
B
Venn-Diagramme mit 3 Mengen (Beispiele)
A∩B ∩C
A
B
C
A∪B ∪C
A
B
C
Potenzmenge
Sei A eine Menge.
Potenzmenge von A:
P(A) = {M : M ⊆ A}
Menge aller Teilmengen von A“
”
Beispiel
P(A) = {∅, {2}, {5}, {2, 5}}
I
A = {2, 5},
I
P(∅)= {∅}
I
{1, 3, 7} ∈ P(N), {3n : n ∈ N} ∈ P(N)
kartesisches Produkt
Seien A und B Mengen.
Kartesisches1 Produkt von A und B:
A × B = {(x, y ) : x ∈ A, y ∈ B}
Beispiel
I
A = {2, 5},
B = {1, 2, 3},
A × B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}
I
1
A = ∅ oder B = ∅:
A×B =∅
René Descartes (1596–1650); französischer Mathematiker
Bemerkung
I
∩ und ∪ für endlich viele Mengen A1 , . . . , An :
n
\
Ak = A1 ∩ · · · ∩ An = {x : x ∈ A1 und . . . und x ∈ An },
k=1
n
[
Ak = A1 ∪ · · · ∪ An = {x : x ∈ A1 oder . . . oder x ∈ An },
k=1
I
ebenso das kartesische Produkt:
A1 × · · · × An = {(x1 , . . . , xn ) : x1 ∈ A1 , . . . , xn ∈ An }.
Mächtigkeit einer endlichen Menge
Sei A eine endliche Menge.
|A| := Mächtigkeit von A
= Anzahl der Elemente von A
Beispiele:
I
I
I
I
I
I
I
I
|{1, 7, 11}|= 3
|{1, 2, 2}|= 2
|∅|= 0
A, B disjunkt, dann |A ∪˙ B|= |A| + |B|.
1 , . . . , An paarweise disjunkt, dann
AS
˙n
k=1 Ak = |A1 | + . . . + |An |.
A = {2, 5}, B = {1, 2, 3}, dann |A × B|= 2 · 3 = 6.
A, B beliebige Mengen, dann |A × B|= |A| · |B|.
A1 , . . . , An Mengen, dann |A1 × . . . × An |= |A1 | · . . . · |An |.