4. Übungsblatt zur Vorlesung „Grundlagen der Mathematik II“

Fachbereich Mathematik
Sommersemester 2010
Prof. Dr. Wolfram Decker
4. Übungsblatt zur Vorlesung
„Grundlagen der Mathematik II“
Abgabetermin: Donnerstag, 13.05.2010, 10:00 Uhr
Aufgabe 13. Zeigen Sie, daß die durch
ny(1 + cos π x ) für |y| > |x|
y
(x, y) −→
0
sonst
definierte Funktion f : R2 → R partiell differenzierbar und stetig in R2 , aber nicht
total differenzierbar in (0, 0) ist.
Aufgabe 14. Zeigen Sie, daß die folgenden Funktionen f auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen differenzierbar sind und berechnen Sie Df :
a)
f (x)
b)
f (x, y, z)
c)
f (x, y, z)
=
cos x
auf R2
sin2 x
1 + ln
x
√
√
=
x y+ z
sin(xy) ex+y
=
xy
z
Aufgabe 15. Zeigen Sie: Die durch
n x2 −y2
xy x2 +y2
(x, y) −→
0
für x, y, z > 0 .
für (x, y, z) ∈ R3
mit z 6= 0 .
für (x, y) 6= (0, 0)
für (x, y) = (0, 0)
definierte Funktion f : R2 → R ist zweimal partiell differenzierbar, aber es gilt
∂2f
∂2f
(0, 0) 6=
(0, 0).
∂x∂y
∂y∂x
Aufgabe 16. Seien X eine Menge und T eine Teilmenge der Potenzmenge von X.
Dann heißt T eine Topologie auf X, wenn gilt
(1) ∅ ∈ T und X ∈ T. T
(2) U1 , . . . , Ur ∈ T ⇒ ri=1 Ui ∈ T.
S
(3) Ist (Uλ )λ∈Λ eine beliebige Familie von Mengen aus T, so ist auch λ∈Λ Uλ ∈ T.
In diesem Fall heißt das Paar X = (X, T) auch ein topologischer Raum und die
Mengen aus T heißen offen.
Ist B ein System offener Mengen eines topologischen Raumes X, so heißt B eine
Basis der Topologie von X, wenn sich jede nichtleere offene Teilmenge von X als
Vereinigung von Mengen aus B schreiben läßt.
Zeigen Sie:
1
(1) Sei X eine Menge und sei B eine Teilmenge der Potenzmenge von X mit
(a) X ist die Vereinigung der Mengen von B.
(b) Sind B1 , B2 ∈ B und x ∈ B1 ∩ B2 , so existiert B ∈ B mit x ∈ B ⊂
B1 ∩ B2 .
Dann existiert genau eine Topologie auf X, die B als Basis hat.
(2) Ist (X, d) ein metrischer Raum, so bilden die offenen r-Kugeln eine Basis
einer Topologie auf X.