Lineare Algebra für Physiker

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Wintersemester 2006/07
Lineare Algebra für Physiker
Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Zum Aufwärmen“
”
1. Aufgabe: Welche der folgenden Aussagen sind Tautologien?
1. (A ⇒ B) ⇔ (B ⇒ A)
2. ((A ⇒ B) ∨ B) ⇔ (A ∨ B)
3. ((A ∧ B) ⇒ C) ⇔ A ∧ B ∧ C
2. Aufgabe: Sei M ⊂ R eine Menge. Negieren Sie die beiden folgenden Aussagen und
überlegen Sie ob die beiden Aussagen äquivalent sind:
1. Es existiert ein ε ∈ R+ , so dass für alle x ∈ M und alle y ∈ M \ {x} gilt: |x − y| > ε.
2. Für alle x ∈ M existiert ein ε ∈ R+ , so dass für alle y ∈ M \ {x} gilt: |x − y| > ε.
3. Aufgabe: Beweisen Sie die folgenden Aussagen für Mengen U , V , W :
1. U ∩ W = ((W \ V ) ∩ U ) ∪ (U ∩ V ∩ W )
2. U ∪ (V ∩ W ) = (U ∪ V ) ∩ W
⇐
U ⊆W
Gilt auch “⇒”? Ist die Aussage U ∪(V ∩W ) = (U ∪V )∩W auch ohne die Bedingung
U ⊆ W gültig?
4. Aufgabe: Geben Sie alle Partitionen von {1, 2} und von {1, 2, 3} an. Wie viele Partitionen von {1, 2, 3, 4} und von {1, 2, 3, 4, 5} gibt es?
5. Aufgabe: Beweisen Sie
n
X
i=1
i2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
6. Aufgabe: Beweisen Sie den binomischen Lehrsatz: Für a, b ∈ R und n ∈ N gilt
n X
n n−i i
n
a b.
(a + b) =
i
i=0
7. Aufgabe: Es sei Z∗ := Z \ {0}. Zeigen Sie, dass auf Z × Z∗ durch (a, b) ∼ (c, d) :⇔
ad = bc eine Äquivalenzrelation ∼ definiert wird. Beschreiben Sie die Äquivalenzklassen.
8. Aufgabe: Seien X, Y Mengen und f : X → Y , g : Y → X Abbildungen mit g◦f = idX .
Zeigen Sie, dass f injektiv und g surjektiv ist. Zeigen Sie außerdem (durch Angabe von
Beispielen), dass f nicht surjektiv und g nicht injektiv sein muss.
9. Aufgabe:
1. Sei M eine beliebige Menge und P(M ) ihre Potenzmenge. Zeigen Sie, dass es keine
bijektive Abbildung f : M → P(M ) geben kann. Hinweis: Betrachten Sie X :=
{x ∈ M : x 6∈ f (x)}.
2. Zeigen Sie, dass R und die Potenzmenge P(N) von N gleichmächtig sind. Sie
können dabei verwenden, dass sich jede reelle Zahl eindeutig als unendliche 0, 1Folge (a1 , a2 , . . . ), ai ∈ {0, 1}, darstellen lässt (Binärdarstellung).
10. Aufgabe:
1. Bestimmen Sie den ggT von a = 6996 und b = 24255 sowie eine Vielfachsummendarstellung des ggT. Gibt es auch ganze Zahlen s und t mit s · a + t · b = 55?
2. Seien a, b ∈ Z und d = ggT(a, b). Zeigen Sie
{s · a + t · b : s, t ∈ Z} = {d · z : z ∈ Z}.